Kurvendiskussion. Exponentialfunktion f(x)= x*e^{1-x} durch eine Parabel der Form g(x)=ax^2+bx+c approximieren

Question

Geg.: f(x)= x*e^{1-x}

Aufgabe:

Der Graph von f soll im Bereich 0<x<1 durch eine Parabel der Form g(x)=ax^2+bx+c approximiert werden. Die Parabel soll durch die Punkte N(0/0) und H(1/1) des Graphen von f sowie durch den Punkt P(2/0) verlaufen.

Wie lautet die Gleichung und wie groß ist die Maximalabweichung für 0<x<1 näherungsweise?

Könnt Ihr mir bitte helfen? Komme hier nicht weiter.

Erst einmal: Was bedeutet approximieren? Laut Internet ist dies eine Annäherung. Würde gerne die Bedeutung auf meinen Sachverhalt wissen, nicht zu sehr verallgemeinern bitte.

Ich vermute mal, dass ich g(x) mit Hilfe der Punkte rekonstruieren muss, oder?

Also ich weiß, dass der N(0/0) eine Nullstelle durch den Ursprung und H(1/1) ein Hochpunkt ist. Wie könnte ich jetzt vorgehen? Komme nicht ganz weiter.

Answer 1

> Was bedeutet approximieren?

Es bedeutet, die Funktion g(x) soll möglichst wenig von der Funktion f(x) abweichen.

> Die Parabel soll durch die Punkte N(0/0) und H(1/1) des Graphen von f sowie durch den Punkt P(2/0) verlaufen.

Damit erübrigt sich jegliche Wahlfreiheit, die du glaubtest, gehabt zu haben. Es gibt nur eine einzige Parabel, die durch diese drei Punkte verläuft (das ist bei Parabeln, die durch drei vorgegebenen Punkte verlaufen sollen, immer so).

> Ich vermute mal, dass ich g(x) mit Hilfe der Punkte rekonstruieren muss, oder?

Richtig.

Allgemeine Funktionsgleichung für Parabeln ist g(x)=ax²+bx+c.

Ersetze in dieser Funktionsgleichung g(x) durch die y-Koordinate des Punktes N. Ersetze x durch die x-Koordinate des Punktes N. Dadurch hast du eine Gleichung. Verfahre mit den Punkten H und P ebenso. Du hast dann ein lineares Gleichungssystem mit drei Gleichungen und drei Variablen. Löse dieses.

> Also ich weiß, dass der N(0/0) eine Nullstelle durch den Ursprung und H(1/1) ein Hochpunkt ist.

Das hast du gut erkannt. Informiere dich über die Scheitelpunktform, wenn du wissen möchtest, wie man die Funktionsgleichung bestimmt ohne ein Gleichungssystem zu lösen.

Comments

Oke, danke. Ich taste mich schnell ran und melde mich dann wieder.

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Gut ich denke ich habs:

Für

N: c=0

P:   4a+2b=0

H:  a+b=1

Dass in den CAS Taschsnrechner eingegeben ergibt:

a=-1,   b=2,     c=0

=>  g(x)= -x^2 + 2

Es passt graphisch auxh mit der Rechnung überein.

So?

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Gut ich denke ich habs:

Für

N: c=0

P:   4a+2b=0

H:  a+b=1

Dass in den CAS Taschsnrechner eingegeben ergibt:

a=-1,   b=2,     c=0

=>  g(x)= -x² + 2

Es passt graphisch auxh mit der Rechnung überein.

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Und was mache ich bei der Maximalabweichung?

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@Oswald: eine richtig gute Antwort! Super erklärt, auf den Fragesteller eingegangen und trotzdem nichts "vorgebetet".

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@Silvia

Peter ist im Forum angemeldet und kann ggf.  in Kommentaren nachfragen.

Fragesteller  "Gast  .... "  sind nicht angemeldet und können das nicht.

Bei diesen sind daher nach meiner Meinung ausführlichere Antworten (zumindest mit Kontrollergebnissen) eher hilfreich.

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Hallo Wolfgang,

ja, ich habe schon mitbekommen, dass Gäste keine Kommentare schreiben können, warum auch immer. 
Aber ich wollte mal nicht nur einen Pluspunkt abgeben, sondern sagen, dass diese Antwort in meinen Augensehr richtig  gut war, weil sie nicht nur eine Lösung präsentiert hat, sondern weiter zum eigenständiigen Denken angeregt hat. 

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Hallo Silvia,

Sollte auch weder eine Kritik an deinem Kommentar noch an Oswalds Antwort sein :-) , meine Bedenken treffen in diesem Fall ja gar nicht zu.

Ich wollte dich nur darauf hinweisen, dass man Gäste mit Hinweisen ohne jede Kontrollmöglichkeit für die Ausführung unter Umständen ziemlich allein lässt.

Dass nicht angemeldete Gäste nicht kommentieren können (empfinde ich als sehr lästig!) wurde eingeführt, weil anonyme Gäste hier durch extrem rüpelhaftes und beleidigendes Verhalten den Umgang der Forumteilnehmer miteinander erheblich gestört haben. Das hat sich durch die Anmeldeverpflichtung für Kommentare tatsächlich deutlich verbessert.

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" dass diese Antwort in meinen Augensehr richtig  gut war, weil sie nicht nur eine Lösung präsentiert hat, sondern weiter zum eigenständiigen Denken angeregt hat. "

sollte sein:

dass diese Antwort in meinen Augen sehr gut war, weil sie nicht nur eine Lösung präsentiert, sondern auch zum eigenständigen Nachdenken angeregt hat.

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Manche Forumsteilnehmer  haben mit  Gastxxxx  (ohne Leerzeichen nach "Gast")  diese Bezeichnung auch im Anmeldenamen. Das sind aber meist Antwortgeber.

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Hallo Wolfgang,

ich habe deinen Kommentar nicht als Kritik aufgefasst.

Du bist in diesem Forum offenbar zu Hause und kannst die Antworten viel besser beurteilen als ich. Rüpelhaftes Verhalten braucht nun wirklich keiner und dass so etwas  durch die Aufhebung der Anonymität eingedämmt wird, ist ja oft so.

Nichtdestotrotz bin ich der Meinung, dass Hilfestellungen zu mehr Erfolg führen können als Lösungen. 

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Wichtig ist allein, dass dem jeweiligen Fragesteller - wie auch immer - sinnvoll geholfen wird :-)

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Das lasse ich jetzt mal so stehen, aber in dem - für das Engagement, was hier gezeigt wird - sehr unbelebtem Community Chat werde ich das nochmal aufgreifen.

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Das könnte den Chat vielleicht endlich mal beleben :-)

Wir beide können ja mal einen festen Zeitpunkt für Unterhaltungen vereinbaren.

Wünsche dir eine gute Nacht.

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@peter187

https://www.wolframalpha.com/input/?i=-x%5E2+%2B+2,++x*e%5E(1-x)

Die beiden Kurven schneiden sich an der Stelle x = 1. Scheint nicht zu passen.

Besser passt auf den ersten Blick https://www.wolframalpha.com/input/?i=-x%5E2+%2B+2x,++x*e%5E(1-x)

Das hast du eigentlich auch raus.

"Das in den CAS Taschsnrechner eingegeben ergibt:

a=-1,   b=2,     c=0

=>  g(x)= -x² + 2x    "

Und was mache ich bei der Maximalabweichung?

Betrachte  https://www.wolframalpha.com/input/?i=x*e%5E(1-x)+-+(+-x%5E2+%2B+2x) . (Eigentlich den Betrag davon).

oswald wird sich bestimmt nochmals zu deiner Rechnung melden.

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> Und was mache ich bei der Maximalabweichung?

Bestimme die Differenz d(h) = f(h) - g(h).

Bestimme die Extrempunkte von d(h).

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Ohh, ja genau sry hab das x in der Funktionsgleichung vergessen. Jetzt ist es graphisch auch richtig, danke.

Aber das mit der Maximalabweichung habe ich immer noch nicht verstanden. Blicke da nicht durch, was du mir da als Link geschickt hast. Könntest du mir das bitte auf rechnerischem Wege zeigen, bzw. Wie man das auch ohne Internet machen kann? Falls ich in einer Situation sein.sollte wo ich nicht auf Internet zugreifen kann, brauche ich dann die Rechnung im Kopf, Taschdnrechner hilft ja dann mit.

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https://www.wolframalpha.com/input/?i=x*e%5E(1-x)+-+(+-x%5E2+%2B+2x)

Ableiten kannst du die Differenz d(x). Dann kommst du nach einigem Umformen zu

und kannst dann die lokalen Extrema von d(x) ausrechnen. Geht problemlos von Hand. Kontrolliere deine Resultate:

Randextrema brauchst du nicht zu befürchten, da du dafür gesorgt hast, dass d(x) an den Rändern des Intervalls 0 ist.

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@oswald @Lu

Danke euch, doch bin noch nicht ganz fertig.

Die Differenzfunktion hab ich auch richtig, die Nullstelle von d(x)  x=1 auch, nur wenn ich die mögliche Extremstelle nun in der 2. Ableitung d"(x) einsetze, erhalte ich 0, dh. ja dass an dieser Stelle x=1 kein Extrempunkt vorliegt, nicht wahr? Was soll ich aber dann machen, um die Frage zur Maximalabweichung zu beantworten? Könnt ihr mir weiter helfen?

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 wenn ich die mögliche Extremstelle nun in der 2. Ableitung d"(x) einsetze, erhalte ich 0, dh. ja dass an dieser Stelle x=1 kein Extrempunkt vorliegt, nicht wahr?

In diese Richtung darf man nicht schliessen (erinnere dich an die Begriffe hinreichend / notwendig). 

Am Rand ist die Differenz d ja Null. Die Funktion d selbst ist zwischen den Rändern nicht konstant 0 , aber überall stetig differenzierbar. Das ist schon genug, um zu wissen, dass du an irgeneiner Stelle mit der Ableitung 0 das betragsmässige Maximum von d finden musst. 

Rechne einfach an allen Nullstellen der Ableitung den Funktionswert von d aus. Der betragsmässig grösste Wert, den du so findest, ist die maximale Abweichung d_(max), die du suchst. 

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Hab mich vermutlich vertippt, bei mir kommt jetzt für x=1 der Funktionswert 1 raus.

Dies wäre dann auch der größte Wert den ich hätte. Sonst nur x=0,306 => y= -1,39, aber das wäre dann nicht der größte Wert, also ist 1 dann rchtig?

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Rechnest du denn den Funktionswert von d(x) aus? Ich ergänze d oben, damit das klarer ist.

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Ich habe x=1 in d"(x) eingesetzt..

2. Ableitung von d ist bei mir:  d"(x)=e^{-x}(2e^x+ex-2e)

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Ahh, oder soll ich die Nullstellen in d(x) und nicht in  d"(x) einsetzen? Denn nur so kriegt man ja den Funktionswert des Extrempunktes.

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Komme einfach nicht drauf..

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Möchte nur dies gerne schnell wissen, ob mein obriger Schritt ricjtig ist?..

Komme eibdach nicht ganz drauf, habt ihr vielleicht ein Kontrollergebnis bitte, damit ich sehen dass ich richtig liege?

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"Kontrolliere deine Resultate: "

Dort ist das Maximum d_(max) = ((ln(2)-1)^2 bei x=1-ln(2) angegeben. 

Du kannst sogar noch auf "approximate" umstellen, wenn du es nicht in den Taschenrechner bringst. 

Fazit:

Lies noch einmal die ganze Diskussion und schreibe dann (ohne zu spicken) deine Rechnung in logischen Schritten hin so weit wie du kommst.

Erst dann: Nochmals die Diskussion lesen und nochmals beginnen. 

Nur wenn du die ganze Antwort einmal ohne nachzuschauen hinschreiben kannst, weisst du, ob du es nun verstanden hast.