fa(x)= e^{2ax} + e^{-2ax} Extrema und Wendepunkte berechnen?

Question

kann jemand bitte zu dieser Funktion mir Extrema und Wendepunkte berechnen? Danke.

fa(x)= e^{2ax} + e^{-2ax}

x und a Element der reellen Zahlen, aber a darf nicht null sein.

Comments

Gegeben ist fa(x)= e^2ax+e^{-2ax}

Gesucht ist der lokale Extrempunkt sowie mögliche Wendestellen. Ich brauche hilfe bei der Berechnung. Die Ableitungen habe ich bereits:

f'a(x)= 2ae^2ax-2ae^{-2ax}

f''a(x)= 4a^2•e^2ax+4a^2•e^{-2ax}

---

Sehr gut, danke, aber es gibt einen Hoch und einen Tiefpunkt bei x gleich null oder, abhängig von a? Bei der 1. Ableitung habe ich auch x gleich 0, dann bei der 2. bekomme ich je nach dem was a ist einen Tief und einen Hochpunkt.

Answer 1

Ich mache erstmal nur die Ableitungen.

fa(x) = e^{2·a·x} + e^{- 2·a·x}

fa'(x) = 2·a·e^{2·a·x} - 2·a·e^{- 2·a·x}

fa''(x) = 4·a^2·e^{2·a·x} + 4·a^2·e^{- 2·a·x}

Comments

Danke. Können Sie bitte gucken, ob diese Funktion einen Wendepunkt besitzt? Laut meiner Rechnung nicht und wenn ich die Extrema berechne, dann muss ich einen für a>0 und einen für a<0 haben, oder?

---

Wendepunkte sind nicht möglich. Die zweite Ableitung besteht aus Summanden die alle positiv sind. Damit kann da nicht null heraus kommen.

Eine Extremstelle sieht man ohne weitere Berechnung bei x = 0.

---

Sehr gut, danke, aber es gibt einen Hoch und einen Tiefpunkt bei x gleich null oder, abhängig von a? Bei der 1. Ableitung habe ich auch x gleich 0, dann bei der 2. bekomme ich je nach dem was a ist einen Tief und einen Hochpunkt.

---

> ... bekomme ich je nach dem was a ist einen Tief und einen Hochpunkt.

f "(0) = 8a² > 0   (da a ≠ 0 und damit a² > 0)

→  Tiefpunkt   an der Nullstelle x= 0 von f '   für alle a ≠ 0

---

Ok. Danke. Diese Funktion hat laut meiner Rechnung keine Nullstelle, da der ln aus einer negativen Zahl nicht bestimmt ist. Kommt das hin?

---

Beide Summanden von f_a(x)  sind positiv,  also hat f_a keine Nullstelle.