Grenzwert in Abhängigkeit von m>0 bestimmen. lim ( 1 + y/(n^m))^n

Question

Hey:)

Könnt ihr mir bei der Aufgabe helfen, weil die unteren Tipps bringen mir irgendwie nichts.

Würd mich echt freuen, wenn ich da Hilfe erhielte:)

Grenzwert in Abhängigkeit von m>0 bestimmen. lim ( 1 + y/(n^m))^n 

Answer 1

betrachte

$$ \lim_{n\to\infty}(1+\frac { y }{ n^m })^n =\lim_{n\to\infty}e^{ln[(1+\frac { y }{ n^m })^n]}=e^{\lim_{n\to\infty}ln[(1+\frac { y }{ n^m })^n]}   $$

und verwende nun die weiteren Hinweise

Comments

Könnte ich jetzt, das ()^n rausziehen, also vor dem Limes?

Und wenn n immer größer wird, geht der Term gegen null und dann hat man nur noch e^1 als Grenzwert

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Nein, das n darf man nicht aus dem limes herausziehen, da es im Grenzwertprozess nicht konstant ist.

Du kannst das n aus dem ln herausziehen:

$$ \lim_{n\to\infty}ln[(1+\frac { y }{ n^m })^n]={\lim_{n\to\infty}n*ln[(1+\frac { y }{ n^m })]} $$

und jetzt wird für große n    y/n^m sehr klein , also kannst du da die Taylorentwicklung verwenden die als Tipp gegeben ist:

$$ =\lim_{n\to\infty}ln[(1+\frac { y }{ n^m })^n]={\lim_{n\to\infty}n*ln[(1+\frac { y }{ n^m })]}\\=\lim_{n\to\infty}n*(\frac { y }{ n^m }+O(\frac { y^2 }{ n^{2m}}))\\=\lim_{n\to\infty}\frac { y }{ n^{m-1} }+O(\frac { y^2 }{ n^{2m-1}}) $$

Jetzt machst du noch eine Fallunterscheidung, z.B m>1

m=1

0<m<1

und bist fertig

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Wo ist das e hin? :)

Für m=1 ist es ja y+O(y2)/n

Und für 0<m<1:

Ist es immer y/n^irgendwas negatives, also strebt es gegen null und der hintere Teil bleibt O(y^2)/n) ist es entweder negativ oder positiv, positiv sobald der Wert >= 0.5

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Also das e lässt man erstmal weg und betrachtet nur den Grenzwert, am Ende nimmt man dann

e^{Grenzwert} um das Ergebnis zu erhalten.

Genau für m=1 ergibt sich y+O(y^2/n). Das strebt für n gegen unendlich gegen y ---> Ergebnis = e^y

für m>1 : beide Summanden streben gegen 0 --> Ergebnis e^0 = 1

für 0<m<1:

Der erste SUmmand strebt immer gegen unedlich, zweite Summand entweder gegen 0 oder gegen unendlich (oder gegen konstant y^2 bei m=1/2)

also gibt es als "Ergebnis" : e^{∞} und divergiert also gegen unedlich