DGL 3 Grades || . y'''+3y''+3y'+y = x+6e^{-x} Wie würde die partikuläre Lösung aussehen?

Question

y'''+3y''+3y'+y  = x+6e^{-x}

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λ^3 + 3λ^2 + 3λ + 1 = 0

(λ+1)^3 = 0

=> λ_(1,2,3) = -1

y_h = (ax^2+bx+c) e^{-x}

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Wie würde die Berechnung der Partikulären Lösung aussehen?

MFG

Answer 1

-1 stimmt.

y_h=e^{-x}(C₁ +C₂x +C₃x^2)

Bei dem Ansatz für die part. Lösung mußt Du summandweise vorgehen.

Eine nützliche Hilfe:

http://micbaum.y0w.de/uploads/LoesungsansaetzeDGLzweiterOrdnung.pdf

y_p1= A+Bx

y_p2=Cx^3 *e^{-x}

y_p=y_p1 +y_p2

yp= A+Bx +Cx^3 *e^{-x}

y=y_h +y_p

Comments

y_p:

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y =   cx^3e^{-x} + ax + b

y'  = e^{-x} [ae^x -cx^3 +3cx^2]

y'' = e^{-x} [x^2-6x+6] cx

y'''= -c e^{-x} [x^3-9x^2+18x-6]

____________

y'''+3y''+3y'+y=x+6e^{-x}

x+6e^{-x} =e^{-x} [-c(x^3-9x^2+18x-6)] + e^{-x} [3cx(x^2-6x+6)] + e^{-x} [3(ae^x -cx^3 +3cx^2)] +

e^{-x} [cx^3] + ax + b

= ax + b + e^{-x}[-c(x^3-9x^2+18x-6)+3cx(x^2-6x+6)+3(ae^x -cx^3 +3cx^2)+cx^3]

= ax + b + e^{-x}[3(a*e^{x}+2c)]

= ax + 3a + b + 6ce^{-x}

=> c = 1

a = 1

3a+b = 0 => b = -3

y_p = cx^3 e^{-x} + ax + b

= x^3 e^{-x} + x -3

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y = y_h + y_p   = (ax²+bx+c) e^{-x} +  x^3e^{-x} + x -3  = e^{-x} [ax²+bx+c + x^3] + x -3 =  e^{-x} [x^3+ax²+bx+c] + x -3 
___sieht das alles so richtig aus? 
MFG

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die part. Lösung stimmt.

y= y_h+y_p

y=e^-x(C₁ +C₂x +C₃x²) + x³ e^-x + x -3  ->Endlösung

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ich habe noch eine andere aufgabe

y''-2y'+2y = e^{2x} sinx

würde die partikuläre lösung so aussehen?

e^{2x}[A sin(x)+B cos(x)] ?

mfg

danke für deine hilfe :)

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ja die part. Lösung (Ansatz) stimmt

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ok danke :)

wenn es ein anfangswert problem gibt würde ich einfach y= y_h+y_p 

ableiten und die werte damit normal berechnen oder? 

(ich muss für das AWP nichts mit y_h y_p speziell machen?)

mfg

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wenn es ein AWB ist, setzt Du die AWB 's in die Lösung ein.

ggf, muß Du die Lösung noch ableiten.

Du hast dann in vielen Fällen ein Gleichungsystem von 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten , was Du lösen mußt.