Bestimmen Sie die momentane Änderungsrate des zweiten Arguments bei Erhöhung des ersten Arguments ...

Question

....Kann mir hier bitte jemand weiterhelfen?

Gegeben sei die Funktion:

Bestimmen Sie die momentane Änderungsrate des zweiten Arguments bei Erhöhung des ersten Arguments um eine marginale Einheit an der Stelle a=(2,1.4) und unter Beibehaltung des Niveaus der Funktion F. 

Comments

Es gibt hier eine ähnliche aber unlesbare Frage, vielleicht kannst du damit und mit den Links dort etwas anfangen (?) https://www.mathelounge.de/448180/bestimmen-momentane-anderungsrate-arguments-erhohung-zweiten

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Nein kann ich leider nicht. check die antwort von dort nicht.

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Was checkst du denn nicht ? Und jetzt sag nicht alles. Beziehe dich auf konkret die erste Zeile die du nicht wirklich verstehst.

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z.B. das hier:

f(1.4, 1.5) = EXP(99/50)

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Hast du hier auch geschaut? https://www.mathelounge.de/357971/momentane-anderungsrate-zweiten-arguments-erhohung-arguments

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f(1.4, 1.5) bedeutet nimm deine Funktion f(x, y) und setze dort für x 1.4 ein und für y 1.5 ein. Dann berechne das Ergebnis.

Du solltest auf EXP(99/50) = e^{99/50} kommen.

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Gegeben sei die Funktion 

F(x1,x2)=e-0.05x1-0.25x2-0.2x1x2.

Bestimmen Sie die momentane Änderungsrate des zweiten Arguments bei Erhöhung des ersten Arguments um eine marginale Einheit an der Stelle 

Answer 1

Lösung über die Mittel der Schulmathematik

F(2, 1.4) = e^{- 101/100}

e^{- 0.05·x - 0.25·y - 0.2·x·y} = e^{- 101/100}

-0.05·x - 0.25·y - 0.2·x·y = -101/100

y = (101 - 5·x)/(5·(4·x + 5))

y' = -429/(5·(4·x + 5)^2)

y'(2) = -429/(5·(4·2 + 5)^2) = -33/65 = -0.5077

Alternativ über Implizite Differentiation

F(x, y) = e^{- 0.05·x - 0.25·y - 0.2·x·y}

Fx = - 0.05·e^{- 0.05·x·(4·y + 1) - 0.25·y}·(4·y + 1)

Fy = - 0.05·e^{- 0.05·x·(4·y + 1) - 0.25·y}·(4·x + 5)

f'(x) = -Fx / Fy = -(-0.05·e^{- 0.05·x·(4·y + 1) - 0.25·y}·(4·y + 1)) / (-0.05·e^{- 0.05·x·(4·y + 1) - 0.25·y}·(4·x + 5)) = -(4·y + 1)/(4·x + 5)

f'(2) = -(4·1.4 + 1)/(4·2 + 5) = -0.5077

Answer 2

Letzlich ist anscheinend

$$\frac{\partial x_2 }{ \partial x_1}(F=F(2; 1,4))$$

gesucht. D.h. man muss die Gleichung nach \(x_2\) auflösen und anschließend bei konstantem \(F\) nach \(x_1\) ableiten.

$$F=e^{-0,05 x_1 - 0,25x_2 - 0,2 x_1 x_2}=e^{-0,05 x_1} \cdot e^{ - x_2(0,25 + 0,2 x_1)}$$

$$e^{  x_2(0,25 + 0,2 x_1)}=e^{-0,05 x_1} \cdot F^{-1}$$

$$x_2(0,25 + 0,2 x_1)= -0,05 x_1-\ln(F)$$

$$x_2=\frac{-0,05 x_1-\ln(F)}{0,25 + 0,2 x_1}$$

Jetzt nach \(x_1\) ableiten. \(F\) bleibt konstant!

$$\frac{\partial x_2 }{ \partial x_1}=\frac{-0,05(0,25 + 0,2x_1) - 0,2(-0,05x_1- \ln(F)) }{(0,25 + 0,2 x_1)^2}=\frac{ -0,0125 + 0,2\ln(F) }{(0,25 + 0,2 x_1)^2}$$

Und mit \(F(2; 1,4)\approx 0,36421898\) ist dann der Wert für  \(\partial x_2/ \partial x_1 \approx -0,507692308 \).

(Edit: Ergebnis korrigiert)

Comments

Ich weiß nicht ganz genau woran es liegt aber ich bekomme sowohl bei der Rechnung mit der Schulmathematik als auch über die Implizite Differentiation einen anderen Wert heraus.

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wieso? unsere Werte sind identisch. Ich hatte mein Ergebnis noch mal korriert - beim  Ausrechenn vertippt. Ist aber schon 30min her

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Sorry. Dann hat er mir nach meiner Antwort noch deine unkorrigierte angezeigt.

Aber wenn wir beide auf das Gleiche kommen, dann ist ja alles in Ordnung.

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Kann mir jemand helfen ? Ich habe auch ähnliche Frage aber ich verstehe nicht wie soll ich lösen

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Das wird exakt so gerechnet wie hier unter drei verschiedenen Rechnungen bereits vorgemacht worden ist. Du hast nur eine andere Funktion. Der Rest bleibt gleich.

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Ist das richtig ?

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Ich sehe nicht, dass du dort die partiellen Ableitungen gemacht hast.

Vielleicht brauchst du mehr Hintergrundwissen.

https://de.wikipedia.org/wiki/Implizite_Differentiation