Aufgabe:
(a) Eine wesentliche Voraussetzung für die Anwendbarkeit des Leibniz-Kriteriums für die Konvergenz einer unendlichen Reihe ist die Monotonieeigenschaft der Glieder. Konstruieren Sie eine Gegenbeispiel durch Kombination der Reihen \( \sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k} \) und \( \sum \limits_{k=0}^{\infty} \frac{1}{2^{k}} \).
(b) Zeigen Sie, dass die Reihe \( \sum \limits_{k=0}^{\infty} \log (k+1) e^{\sin (k)-k} \) konvergiert.
(c) Zeigen Sie, dass die Reihe \( \sum \limits_{k=0}^{\infty}(-1)^{k} \frac{1}{(2 k+1) 3^{k}} \) konvergiert. Bezeichne \( \left(s_{n}\right) \) die Folge der Partialsummen mit Grenzwert \( s_{n} \rightarrow s \) für \( n \rightarrow \infty \). Geben Sie ein \( N \in \mathbb{N} \) an mit \( \left|s_{N}-s\right|<0.5 \cdot 10^{-4} \). Berechnen Sie \( 2 \sqrt{3} s_{N} \) : Welche Wert von \( s \) vermuten Sie?
(d) Sei \( s_{n}=\sum \limits_{k=1}^{n}(-1)^{k-1} \frac{1}{k}\left(\frac{1}{4}\right)^{k} \). Zeigen Sie, dass der Grenzwert \( s=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} s_{n} \) existiert. Geben Sie ein \( N \in \mathbb{N} \) an mit \( \left|s_{N}-s\right|<0.5 \cdot 10^{-6} \). Bestimmen Sie \( e^{s_{N}} \) mit einem Taschenrechner. Welchen Wert von \( s \) vermuten Sie?
Ansatz/Problem:
Unsere bisherigen Ideen: a) Man hatsoll ja zwei monotn fallende Nullfolgen gegeben, um ein Gegenbeispiel zu konstruieren. Muss man daraus nun eine alternierende Reihe bilden? Alle anderen Gegenbeispiele die hier passen ( also solche, die unabhängig von den zwei gegebenen Reihen sind) waren in irgendeiner Form alternierend. Allerdings ist uns unklar, wie wir aus den beiden gegeben etwas neues formen sollen.
b) Haben wir veraucht mit dem Wurzelkriterium zu lösen, was auch mehr odee minder funktioniert hat. Man hat zum Schluss dann ein Produkt aus etwas was von oben gegen 1 geht und etwas was langsamer von oben gegen 0 geht. Das passz ja zur Konvergenz, aber ich finde diese Lösung doch sehr unschön.
Bei c,d stehen wir vollkommen auf dem Schlauch.
Wir hoffen uns kann irgendwer zumindest ansatzweise helfen.
