Umgebungsstetigkeit von exp(x) =e^x

Question

Ich habe hier eine Klausurfrage, die in mehreren Klausuren schon so vorkam. Es gibt aber keine Lösung dazu.

Ich hab verschiedene Ansätze, von denen ich der Meinung bin, dass es so stimmt. 
Ich bin der Meinung A, zu 80%richtig und b, zu 100% richtig gelöst zu haben. Was c, und d, angeht. Bei diesen komm ich leider nicht mehr voran. 

Comments

Ich steuer mal meine Idee zu a) bei.

a)

e^s - 1 ≥ 1 - e^{-s}

(e^s)^2 - e^s ≥ e^s - 1

(e^s)^2 - 2e^s + 1 ≥ 0

(e^s - 1)^2 ≥ 0

Answer 1

Hi

zu (b)

$$ e^s = \sum_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k!} = 1 + \sum_{k=1}^\infty \frac{x^k}{k!} = 1 + s \sum_{k=0}^\infty \frac{s^k}{k!} \frac{1}{k+1} \le 1+s e^s $$

zu (c)
Sie o.B.d.A. \( x \ge y \) dann gilt wegen (b)
$$ e^x - e^y = e^y ( e^{x-y} -1 ) \le e^y ( x-y) e^{x-y} = (x-y) e^x $$ und wegen \( x \le y + 1\) folgt $$ e^x - e^y \le (x-y)e^{y+1}  $$

zu (d)
Es gilt $$ \left| e^x - e^y \right| \le e^{y+1} | x - y | \le e^{y+1} \delta $$ wähle also \( \delta = \frac{\epsilon}{e^{y+1}} \) dann folgt
$$ \left| e^x - e^y \right| \le \epsilon  $$