Laplace-Operator - Zeige, dass Delta(g o f)=0

Question

bei der Aufgabe oben habe ich für grad(g o f)(x) = [((2-n)*x1)/|x|^n, ... , ((2-n)*xn)/|x|^n] raus. Kann das eventuell jemand bestätigen?

Bei (b) scheitere ich nun. Genauer gesagt bekomme Delta(g o f)=0 nicht gezeigt. Hierzu müsste ich doch "nur" grad(g o f)(x) nochmal ableiten und die einzelnen Komponenten addiert müssten dann 0 ergeben richtig? Irgendwas haut da bei mir nicht hin.

Kann mir hier bitte jemand helfen?

Answer 1

Hi, die erste Aufgabe ist richtig.

Bei der zweiten ist es so
$$ \frac{\partial}{\partial x_l}(g \circ f)(x) = (2-n) x_l \left( \sum_{i=1}^n x_i^2 \right)^{-\frac{n}{2}} $$ und deshalb
$$ \frac{\partial^2 }{\partial x_l^2}(g \circ f)(x) = (2-n)\left( \sum_{i=1}^n x_i^2 \right)^{-\frac{n}{2}} + (2-n) x_l \left( -\frac{n}{2} \right)\left( \sum_{i=1}^n x_i^2 \right)^{-\frac{n}{2}-1} 2 x_l  $$ also
$$ \sum_{l=1}^n \frac{\partial^2 }{\partial x_l^2}(g \circ f)(x) = (2-n)\left( \sum_{i=1}^n x_i^2 \right)^{-\frac{n}{2}} \left( \sum_{l=1}^n \left[  1 - n x_l^2 \left( \sum_{i=1}^n x_i^2 \right)^{-1}  \right) \right] = \\(2-n)\left( \sum_{i=1}^n x_i^2 \right)^{-\frac{n}{2}} \left( n - n  \right)  = 0 $$