Zeige: u ist das Element von ℝw, das den minimalen Abstand zu v hat.

Question

Seien v, w ∈ ℝⁿ zwei Vektoren, w ≠ 0. 

Die orthogonale Projektion von v auf w (oder auf ℝ w) ist der Vektor:

 u=  <v,w> / |w|²  • w

Zeige: u ist das Element von ℝw, das den minimalen Abstand zu v hat.

Comments

Seien v,w ∈ ℝⁿ zwei Vektoren, w ≠ 0 . Die orthoganale Projektion von v auf w ( oder auf ℝw) ist der Vektor 

u=(<v,w>)/(|w|²) *w.

Zeige: u ist das Element von ℝw, das den minimalsten Abstand zu v hat. 

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Zeige: u ist das Element von ℝw, das den minimalsten Abstand zu v hat.

Steht das tatsächlich so in der Angabe?

Ich würde das mal durch "den voll minimalsten Abstand" ersetzen...

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Siehe hier

EDIT(Lu) umgeleitet. 

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Mein Fehler , es heißt : Zeige: u ist das Element von ℝw, das den minimalen Abstand zu v hat. 

Answer 1

Zu jedem \( \vec{u} = \alpha \vec{w} \in \mathbb{R}w \) und \( \vec{v} \in \mathbb{R}^n \)gibt es einen Vektor \( \vec{\Delta} \) s.d. \( \vec{u} + \vec{\Delta} = \alpha \vec{w} + \vec{\Delta} = \vec{v} \) gilt

D.h. \( \vec{\Delta} = \vec{v} - \alpha \vec{w} \). Die Länge dieses Vektors wird minimal, wenn

\( (1) \quad \left \| \vec{\Delta} \right \|^2 = <\vec{v} - \alpha \vec{w} , \vec{v} - \alpha \vec{w} > = \|\vec{v}\|^2 - 2\alpha <\vec{v},\vec{w}> +\alpha^2 \|\vec{w}\|^2 \) minimal wird.

Ableiten nach \( \alpha \) und Null setzten ergibt

$$ (2) \quad \frac{d}{d\alpha} \left \| \vec{\Delta} \right \|^2 = -2<\vec{v},\vec{w}> + 2\alpha \|\vec{w}\|^2 = 0  $$ Also

$$ (3) \quad \alpha = \frac{<\vec{v},\vec{w}>}{\|\vec{w}\|^2} $$

Die zweite Ableitung nach \( \alpha \) ergibt \( 2 \|\vec{w}\|^2 > 0 \), also ist das gefundene \( \alpha \) ein Minimum und der Vektor \( \vec{u} \)   ergibt sich zu $$ (4) \quad \vec{u} = \frac{<\vec{v},\vec{w}>}{\|\vec{w}\|^2} \vec{w} $$

Comments

Hey hatte auch Probleme dabei und dank Dir für die Hilfe.

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Hi ullim oder K, 

erst einmal möchte auch ich mich für die Beantwortung der Frage bedanken. Bedauerlicherweise hab ich einige Punkte innerhalb der Lösung nicht nachvollziehen können und wäre euch dankbar, wenn ihr mir helfen könntet, sie zu verstehen.

1. Warum fällt nach dem Auflösen nach nach α nach der ersten Ableitung das Minus weg? Eigentlich müsste das Minus doch vor dem Bruch stehen oder irre ich mich?

2. An K: Dürfen wir ableiten? In Ana haben wir das zwar gehabt, aber in Lina hatten wir das doch nicht im Skript?

3. Ich verstehe nicht, wie das Ergebnis beim 2. Ableiten zustande kommt... 

4. Wieso ergibt sich u zu dem angegebenen Bruch?

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zu 1)

Gleichung (2) einfach nach \( \alpha \) umstellen

zu (3)

Gleichung (2) einfach nach \( \alpha \) nochmal ableiten

zu (4)

\( \vec{u} \) war als \( \alpha \vec{u} \) definiert.

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Hey Lynn12 also ganz generell würde ich sagen sollte das mit dem Ableiten kein Problem sein, da die beiden Vorlesungen ja oft miteinander arbeiten bzw. die eine Vorlesung auf die andere verweist und es sogar thematische Überschneidungen gibt.
Es sollte uns also erlaubt sein abzuleiten.

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Danke ullim! Jetzt wo ich deine Antwort lese, ist es natürlich ganz klar (shame on me). Mir sind nochmal zwei Fragen aufgekommen, vielleicht liest du (oder jemand anderes) sie ja noch heute Abend und kann sie mir beantworten.

1. Wie ergibt sich bei Gleichung (2) der Bruch vor dem Gleichzeichen? Irgendwie kann ich mir das nicht erklären. Zwar wird ja abgeleitet, aber es gab vorher ja kein Alpha und deshalb verstehe ich den Bruch erst recht nicht :(

2. Warum hilft uns das Ableiten, um zur Lösung zu kommen? Also was hat das mit dem Abstand oder sonst was zu tun?

Danke und schönen Abend noch! 

Und dir K, auch danke für deine Antwort. Insgesamt kommt es mir so vor, als ob auf diesem Blatt viel mit Analysis zu tun hat, auch die Aufgabe mit der Norm und Metrik hatten wir doch gar nicht behandelt in der Lina-VL

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Hey Lynn Du hast recht wir haben es nicht wirklich behandelt Professor Diestel hatte nur am Anfang von 7.1 (Sesquilinearformen) gefragt, ob wir das in Analysis hatten und dann noch ca. eine Tafel dazu geschrieben aber im Skript das Thema nicht groß behandelt. Daher gehe ich auch davon aus das wir unser Wissen aus der Analysis benutzen dürfen.