Doppelbrüche. Vereinfachung von Termen: a) 1 - a/(1 - a/(a+1)) , b) ((x+y)/2)/(x^2 - y^2)

Question

Könnt ihr mir sagen wie ich diese Terme vereinfachen kann!

Steh irgendwie auf dem Schlauch.

a) 1 - a/(1 - a/(a+1)) , b) ((x+y)/2)/(x^2 - y^2) 

Answer 1

a) Den Bruch erweitern mit a+1.

1-a(a+1)/(a+1-a)= 1-a(a+1)

b) Erweitern mit 2 und Faktorenzerlegung:

(x+y)/[2(x+y)(x-y)] kürzen 1/[2(x-y)]

Comments

Wahnsinn wie schnell das ging!

---

Den Weg über geschicktes Erweitern finde ich sehr schön, hier a) in \(\TeX\):

$$ 1- \dfrac { a }{ 1-\dfrac { a }{ a+1 } } \cdot \dfrac { a+1 }{ a+1 } = 1-a\cdot(a+1) $$Auf ähnliche Weise kommt man auch bei b) zum Ziel:

$$ \dfrac { \dfrac { x+y }{ 2 } }{ x^2-y^2 } \cdot \dfrac { \dfrac { 2 }{ x+y } }{ \dfrac { 2 }{ x+y } } = \dfrac { 1 }{ (x-y) \cdot 2 } $$

Answer 2

1 - a/(1 - a/(a + 1))

= 1 - a/((a + 1)/(a + 1) - a/(a + 1))

= 1 - a/((a + 1) / (1/(a + 1)))

= 1 - a/((a + 1) * (a + 1))

= 1 - a/(a + 1)^2

= (a + 1)^2/(a + 1)^2 - a/(a + 1)^2

= (a^2 + 2a + 1)/(a + 1)^2 - a/(a + 1)^2

= (a^2 + a + 1)/(a + 1)^2

----------

(x + y)/2/(x^2 - y^2)

= (x + y)/(2*(x^2 - y^2))

= (x + y)/(2*(x + y)*(x - y))

= 1/(2*(x - y))

Answer 3

a) 1 - a/(1 - a/(a+1)) ,

b) ((x+y)/2)/(x^2 - y^2) 

= (x+y)/(2*(x^2 - y^2))

= (x+y)/(2*(x+y)(x-y))

= 1/(2*(x- y))

Answer 4

$$ 1- \frac { a }{ 1-\frac { a }{ a+1 } }$$
$$ =1- \frac { a }{ \frac { a+1 }{ a+1 }-\frac { a }{ a+1 } }$$
$$ =1- \frac { a }{\frac { 1 }{ a+1 } }$$
$$ =1-a* \frac { a+1 }{ 1 }$$
$$ =1-a*(a+1)    $$
$$ =1-a^2 -a    $$