Lokale Extrema bestimmen, wie krieg ich die Null unterm Bruchstrich weg? f(x,y) = y^2(x+1)^3 - 1/(1+x^2)

Question

folgende Aufgabe:

1. Notwendige Bedingung: Der Gradient wird gleich Null gesetzt. Hier habe ich schon ein Problem:
f_x= 3x²y²+6xy²+3y²+(2x)/(x²-1)²

f_y= 2x³y+6x²y+6xy+2y

Ich muss ja eigentlich beide Gleichungen Null setzen. Für f_y folgt dann ja schon der richtige Punkt x=-1 und y=0. Wenn ich dies aber in f_x einsetze, dann kommt ja im hinteren Teil -2/0 raus. Durch Null teilen ist ja bekanntlich nicht so optimal. Wie krieg ich das weg?

2. Danach muss ich ja nur noch die Hinreichende Bedingung prüfen, also zeigen dass die Determinante der Hessematrix größer/kleiner Null ist. (In diesem Fall >0, da ein Minimum in (-1/0) angenommen wird. Hier habe ich aber wieder das Problem mit der Null.

Vielleicht kann jemand helfen, danke euch! :)

Comments

 wie krieg ich die Null unterm Bruchstrich weg? 

Wie kommst du denn auf eine Null unter dem Bruchstrich?

Ist x keine reelle Zahl?

1 + x^2 ist nie kleiner als 1 und damit nie negativ.

---

Ich wollte in f_x für x -1 einsetzen, dann wäre leider Null rausgekommen.

Answer 1

Für f_y folgt dann ja schon der richtige Punkt x=-1 und y=0

Beachte: aus fy folgt lediglich, dass 

entweder x=-1 und y beliebig 

oder y=0 uns x beliebig, also unendlich viele Punkte. Deshalb benötigt du die andere partielle Ableitung auch noch. Sprich : setze jeweils x=-1 und danach y=0 in die obere Gleichung ein und löse nach der jeweils anderen Variable auf.

Außerdem ist deine Ableitung nach x falsch, denn im Bruch hinten muss (1+x^2)>0 stehen. Polstellen treten somit nicht auf.

Comments

Ich Honk, natürlich!!!