Semidefinite Matrix und wie muss man weiter machen um zu zeigen dass kein Minimum vorliegt?

Question

f(x,y)=2x⁴-3x²y+y²

Nun soll ich zeigen dass die Funktion in (0,0) ein lokales Minimum hat aber wenn man sie einschränkt auf einer beliebigen Gerade durch (0,0) dann schon.

Ich habe schon die Hessematrix berechnet und erhalte ( 0             0

                                                                                                       0             2)

Also ist die Hessematrix semidefinit. Wie muss ich jetzt weiter machen?

Answer 1

Wenn die Kriterien alle nicht klappen, und man am Ende immer bei "in dem Fall kann man nichts sagen" landet, hat man eben Pech gehabt und muss sich selber was ueberlegen. Z.B. kann man mit der Faktorisierung \(f(x,y)=(x^2-y)(2x^2-y)\) eine Skizze für das Vorzeichen von \(f\) anfertigen. Man sieht dann, warum im Nullpunkt kein Extremum vorliegen kann. Man findet naemlich in jeder Umgebung des Nullpunktes sowohl positive als auch negative Funktionswerte.