y'' - 2y' - 3y = 2e^{3x} + 8 e^x - 3x brauche Hilfe beim Störglied

Question

y'' - 2y' - 3y = 0

λ^2 - 2λ- 3 = 0

mit PQ Formel komme ich auf die werte  λ1 = 3 und λ2 = -1

dann habe ich für yh(x) = c1 e^{3x} + c2 e^{-x}.

Ab hier weis ich nicht was ich machen soll, kann mir da jemand Helfen.

Comments

Die homogene Lösung zweimal ableiten (Produktregel !!!) und mit variablen Konstanten in die urprüngliche DGL einsetzen.

Haufen Schreiberei - tierisch aufpassen wegen Verfummelungsgefahr, aber am Ende kürzt sich fast alles wieder von dem Wirrwarr weg.

Im Idealfall bekäme man so die partikuläre Lösung.

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... wobei ich nicht behaupten möchte, dass es keine eleganteren Wege gäbe ...

Answer 1

die allgemeine Lösung  ist  y = y_h + y_P

Dein y_P  ist richtig.

Für y_P  kannst du dir hier einen Ansatz zusammenbauen.

http://micbaum.y0w.de/uploads/LoesungsansaetzeDGLzweiterOrdnung.pdf             [2.Seite, 2.]

Diesen musst du dann zweimal ableiten und die Ergebnisse in die DGL einsetzen.

Zusammenfassen und Koeffizientenvergleich ergibt dann die Ansatzkonstanten und damit y_P.

Gruß Wolfgang

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danke erstmal für die Hilfe.

Bin mir jetzt nicht ganz sicher, ob ich das richtig gemacht habe.

yp(x)= Ae^{3x} + Be^x - C1x + C0

Ist der ansatz so richtig zusammen gebaut?

Gruß

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Ae^3x + Be^x - C1x + C0

da 3 eine Nullstelle des charakteristischen Polynoms ist,

 muss es  A * x * e^3x + B * e^x + Cx + D     heißen. 

Wo du das Minuszeichen her hast, weiß ich nicht, aber es ist eigentlich egal.

C1  sollte anders heißen, weil es bei y_h schon vorkommt.

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Super danke schön, eine frage noch zum Verständnis.

 A * x * e^3x + B * e^x + Cx + D  

müsste anstatt des D kein C0 stehen?

Also

 A * x * e^3x + B * e^x + Cx + C0

oder ist das egal?

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Die Konstanten werden doch sowieso bestimmt und ersetzt. Da ist der Name egal. Die Zahlen sind doch nur Indices.

Und:  immer wieder gern :-)