Sattelpunkt gleich doppelte Nullstelle?

Question

Ich musste in meinem Mathebuch eine Aufgabe machen und in den Lösungen heißt es, dass ein Sattelpunkt eine doppelte Nullstelle ist. Wie kann das sein? Ich dachte immer ein Sattelpunkt ist eine dreifache Nullstelle?

Comments

Hi,

richtig, dachte ich auch immer.

MfG

Mister

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Eventuell bezieht sich die "doppelte Nullstelle" auf die Ableitung?

Das wäre dann korrekt ;).

Grüße

Answer 1

ach ne, doch falsch gedacht: Es gilt zwar, dass jede dreifache Nullstelle ein Sattelpunkt ist. Aber nicht jeder Sattelpunkt ist eine dreifache Nullstelle!

x_0 dreifache Nullstelle ⇒ x_0 Sattelpunkt.

Die Rückrichtung "⇐" gilt nicht (immer).

MfG

Mister

PS: Die Rückrichtung gilt, wenn f ein Polynom ist, das durch den Ursprung geht oder mit anderen Worten kein Absolutglied hat, das heißt der Bedingung f(0) = 0 genügt. Dann gilt auch die Rückrichtung:

x_0 Sattelpunkt und f(0) = 0 ⇒ x_0 dreifache Nullstelle.

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Ich muss noch hinzufügen, dass "dreifache Nullstelle" heißt, dass x_0 keine vierfache Nullstelle ist. Ansonsten wäre f(x) = x^4 ein leichtes Gegenbeispiel.

Answer 2

Das kann nicht sein. Da hast du einen 'Druckfehler' gefunden. Nur zweifache Nullstellen sind keine Sattelpunkte (Terrassenpunkte)

Steht auch hier:

https://de.wikipedia.org/wiki/Sattelpunkt

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"Sattelpunkt eine doppelte Nullstelle ist"

In einem Sattelpunkt hat die Ableitung eine doppelte Nullstelle, nicht die Funktion.