Es sei f : (0,∞) → (0,∞) differenzierbar. Entscheiden Sie, ob die folgenden Aussagen richtig oder falsch sind:

Question

(a) Ist f streng monoton, so ist f unbeschränkt.

(b) Gibt es ein ε0 > 0, so dass für alle x > 0 gilt f´(x) ≥ ε0, so ist f unbeschränkt.

(c) Ist f´(x) > 0 für alle x ∈ (0,∞), so ist f unbeschränkt.

(d) Ist f´(x) > 1/x für alle x ∈ (1,∞), so ist f unbeschränkt.

Comments

(d) $f^\prime (x)>\frac1x$ für alle $x\in(1,\infty)$$$\Rightarrow\int_1^xf^\prime(t)\,\mathrm dt>\int_1^x\frac{\mathrm dt}t$$$$\Rightarrow f(x)>\log x+f(1).$$

Answer 1

f: (0;∞) ---> (0;∞)   diffb.

(a) Ist f streng monoton, so ist f unbeschränkt.

Gegenbeispiel f(x) = 1/x

(b) Gibt es ein ε0 > 0, so dass für alle x > 0 gilt f´(x) ≥ ε0, so ist f unbeschränkt.

Gegenbeispiel f(x) = -1/x

(c) Ist f´(x) > 0 für alle x ∈ (0,∞), so ist f unbeschränkt.

Gegenbeispiel f(x) = -1/x

(d) Ist f´(x) > 1/x für alle x ∈ (1,∞), so ist f unbeschränkt.

????????

Comments

Inwiefern sind das Gegenbeispiele?

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z.B. bei a)  1/x ist über (0;∞) differenzierbar mit f ' (x) = -1 / x² ,also

streng monoton fallend, aber nach unten beschränkt durch 0

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Nach oben auch?

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Betrachte mal f(1/n) für n aus N. Also nicht oben.

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f(x) = 1/x ist auf (0,∞) eben nicht beschränkt und kann demzufolge kein Gegenbeispiel sein.

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Hast recht, ich hatte da irgendwie nicht aufgepasst.

Vielleicht geht was mit arcustangens.