Minimum eines Polynoms in (0,0)

Question

ich bin zurzeit am Üben, und beschäftige mich mit dieser Aufgabe: 

Ich habe hier jetzt mal die partiellen Ableitungen berechnet:

$$ \frac { dp }{ dx } (x,y)=2(x+ay) $$$$ \frac { dp }{ dy } (x,y)=2a(a^2y+x) $$

$$\frac { d^2p }{ dx^2 } (x,y)=2$$$$\frac { d^2p }{ dy^2 } (x,y)=2a^3$$$$\frac { d }{ dx }\frac { dp }{ dy } (x,y)=2a$$

Bei der zweiten partiellen Ableitung nach x, ist die Funktion ja nicht mehr abhängig von a. 
Bei der zweiten partiellen Ableitung nach y resultiert. $$\frac { d^2p }{ dy^2 } (x,y)=2a^3$$
Für (0,0) folgt also:

\(\frac { d^2p }{ dy^2 } (0,0)=2a^3\) Für alle \(a > 0 \) würde also ein Minimum resultieren.

Aber ich bin mir da nicht so sicher. Wäre nett falls jemand helfen könnte.

lg

Answer 1

f(x, y) = x^2 + 2·a·x·y + a^3·y^2

f'(x, y) = [2·x + 2·a·y, 2·a·x + 2·a^3·y]

f''(x, y) = [2, 2·a; 2·a, 2·a^3]

det[2, 2·a; 2·a, 2·a^3] > 0 --> a > 1

Comments

Super danke.

Ich hätte es wohl doch sofort mit der Hesse Matrix tun sollen.
Ich fasse nochmal zusammen
Für \( det(H_p(x,y))\) folgt:
 $$=4a^3-4a^2 $$ Hier kann man per einsetzten sehen, dass für \(a=0\) und für\( a=1\)  kein Minimum folgt, und für \( a<0\) sowieso nicht. Daher muss \( a>1\) sein.

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Gerechnet habe ich jetzt mit dem Hauptminoren-Kriterium von Sylvester. Man kann aber auch die Eigenwerte der Hesse-Matrix bestimmen und schauen für welche Werte diese Eigenwerte alle größer als Null sind.

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Stimmt. Wenn man das mit dem Hauptminorenkriterium macht, bekommt man für:

 \(H_1=2 > 0 \)und \( H_2=det(H_p(0,0)) =4a^3-4a^2 \)wodurch mit  \( a>1\) eben \(4a^3-4a^2 >0\) folgt.
Somit sind für \(a>1  \) beide Hauptminoren positiv, allso ist die Matrix positiv definit, d.h es gibt gibt ein Minimum in \((0,0)\) (Wobei der Punkt (0,0) keine große Rolle spielt, da durch die partiellen Ableitungen die Funktion nicht mehr von x und y abhängig ist)
Danke nochmal ! :)