Probleme bei Integration durch Substitution: f(x) = (1+e^x)/(1-e^x) dx

Question

ich muss folgende Gleichung mit der Integration durch Substitution integrieren:

f(x) = (1+e^x)/(1-e^x) dx

Ich habe beim Online-Integralrechner gesehen, dass man die Gleichung vereinfachen kann. Es sieht an sich logisch aus, aber verstehe nicht warum da so vorgegangen wird. Ich hoffe jemand kann mir schritt für schritt erklären, wie man das Integral nur durch Substitution bildet.

Answer 1

Der Pfiff bei der Substitution ist

ja immer, dass man nach der Substitution

ein einfacheres  Integral

(also was man mit den Standardmethoden

leicht lösen kann) als vorher.

Hier würde sich wohl anbieten, entweder den Zähler oder

den Nenner durch z zu ersetzen. Da es aber immer

günstig ist, wenn man im Nenner weder Summe noch

Differenz hat, würde ich eher den Nenner nehmen.

Dann hast du z = 1 - e^x , also  e^x = 1-z und dadurch würde

der Integrand zu (1-z) / z .

Nun muss man noch das dx ersetzen und weil dz/dx =  - e^x  ist,

also  dx = dz/ (- e^x ) =  dz / (z-1) hat man dann

∫ (1+1-z) / z    dz / (z-1)  = ∫ (2-z)/(z*(z-1))     dz

Das sieht nach Partialbruchzerlegung aus:

=  ∫(  1 / (z-1)  -  2/z   )    dz

= ln(|z-1|) - 2* ln(z) + C

und nun wieder z = 1 - e^x

=  ln(|1 - e^x -1|) - 2* ln(|1 - e^x |) + C

= x  - 2* ln(|1 - e^x |) + C

Also wäre es mit der anfänglichen Umformung des Terms doch einfacher gewesen.

Comments

Super danke. Partialbruchzerlugung kommt aber erst nach ca. 5 Definitionen. Geht es ohne?

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Klar, dann zerlegt man sofort den Bruch

(1+e^x)/(1-e^x)

=(1 -e^x  + 2e^x) /(1-e^x) 
= (1 -e^x  ) /(1-e^x)  +  2e^x /(1-e^x) 
= 1  +  2e^x /(1-e^x)

= 1  -  2 *  (-e^x ) / (1-e^x)

und  (-e^x ) / (1-e^x)   ist Bruch von der Form f ' (x) / f(x)

und da ist immer ln ( |f(x)|) eine Stammfunktion.

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ist aber ohne Substitution

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Wenn unbedingt Subst. sein muss, dann

löse  ∫   (-e^x ) / (1-e^x) dx durch die Subst z = 1-e^x und  dz / dx =  -e^x

dann hast du  ∫ 1/z dz =  ln ( |z|] + C und mit  

z = 1-e^x  wieder   ln(|1 - e^x |) + C

Answer 2

f(x)=

(1+e^x)/(1-e^x)

=(2e^x+1-e^x)/(1-e^x)

=2e^x/(1-e^x) +1

Man kann nun die Stammfunktionen mithilfe logarithmischer Integration direkt ablesen:

F(x)=-2*LN(|1-e^x|)+x+C

Answer 3

∫ (1 + e^x) / (1 - e^x) dx

= ∫ (1 - e^x + 2·e^x) / (1 - e^x) dx

= ∫ (1 - e^x) / (1 - e^x) dx + ∫ (2·e^x) / (1 - e^x) dx

= ∫ 1 dx + ∫ (2·e^x) / (1 - e^x) dx

Subst. z = 1 - e^x

1 dz = -e^x dx

dx = -1/e^x dz

= ∫ 1 dx + ∫ (2·e^x) / z · (-1/e^x) dz

= ∫ 1 dx - ∫ 2 / z dz

= x - 2·ln(|z|) + c

= x - ln(z^2) + c

Resubst. z = 1 - e^x

= x - ln((1 - e^x)^2) + c

Comments

Das ist sehr hilfreich. Wie kommt man auf den Gedanken ganz am Anfang 1+e^x auf 1-e^x+2e^x umzuschreiben?

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Du hast z.B. bei der Partialbruchzerlegung gelernt, dass man den Bruch vereinfachen kann, solange der Grad des Zählers nicht kleiner als der Grad des Nenners ist.

Das kannst du auch auf Potenzen von e^x übertragen.

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Naja. Partialbruchzerlegung hatten sie ja noch nicht. Aber im Grunde ist es das gleiche als wenn du 9/2 vereinfachen sollst.

9 / 2 = (8 + 1) / 2 = 8 / 2 + 1/ 2 = 4 + 1/2

Man probiert einfach einen Bruch schön aufzuteilen, dass sich beide teile recht einfach integrieren lassen. Es gibt bei dieser Aufgabe viele Möglichkeiten sie zu lösen.