Gegeben ist die Funktion f(x,y)=x^3-2xy+y^2+5. Untersuchen Sie diese auf Extrem- und Sattelpunkte.

Question

Gegeben ist die Funktion $$ f\left( x,y \right) ={ x }^{ 3 }-2xy+{ y }^{ 2 }+5 $$

Untersuchen Sie die Funktion auf Extremstellen und Sattelpunkte.

Answer 1

f_x(x,y) = 3x² - 5y     und f_y(x,y) = 2y-2x

müssen beide 0 sein, also  x=y und         3x² - 5x = 0

also x=0 oder x=2/3

also sind die kritischen Punkte (0;0) und ( 2/3  ;  2/3 ) .

Die musst du weiter untersuchen mit der Hesse-Matrix.

6x     -2
-2      2

also bei (0;0) ist die Det = -4  <  0 also ein Sattelpunkt

Bei  ( 2/3  ;  2/3 )  ist det = 4  > 0 also ein Extrempunkt

und da die Hauptdiagonalelemente positiv sind ein Minimum.

   

Comments

Danke für deine Antwort! Kann es sein dass du bei f_x (x,y)= 3x²  - 2y meinst? Ansonsten weiß ich nicht wie du auf die -5y kommst.

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Ach ja, war vertippt.