Statt der Funktion deren Taylorpolynom 2 Mal integrieren.

Question

Problemstellung:
Es kommt vor, dass man eine Funktion integrieren muss, dies aber mathematisch Probleme macht.
Z.B. die Pendel Differentialgleichung. Wenn man diese 2 Mal integrieren will, um von der Beschleunigung auf den Weg zu kommen, dann stößt man bei der 2. Integration auf ein elliptisches Integral, mit den entsprechenden mathematischen Problemen.
Es stellt sich daher die Frage, könnte ich die Funktion durch ein Taylorpolynom ersetzen, anschließend dieses Taylorpolynom 2 mal integrieren und erhalte ich dann eine neue Funktion,
also auch ein Taylorpolynom, das der 2 mal integrierten Ursprungsfunktion, bzw. deren direktem Taylorpolynom entspricht?

Allgemeine Problemstellungen ms 15.pdf (98 kb)

Answer 1

Potenzreihenansaetze zur Lösung von Differentialgleichungen sind durchaus statthaft. Newton hat das staendig gemacht.

Dein Beispiel \(y''(x)=\sin x\) ist aber ziemlich langweilig. Und Du vergisst auch immer schoen die Integrationskonstanten.

Passender für Deine Ueberlegungen ist die Gleichung \(y''(x)=\sin y(x)\).

Comments

Hallo Fakename

Danke für deine Rückmeldung.

Stimmt, das Beispiel ist einfach( Langweilig ;-) )aber durchaus bewusst für den Versuch.

Mit der Integrationskonstante, stimmt, ist mir bewusst, dass ich die rausgelasssen habe, die entsprechen aber ja ansicht nur einer Verschiebung der Kurve, oder eben kann auch Null sein.

Mir fehlt aber immer noch die Erklärung. s. Anhang

Allgemeine Problemstellungen ms 16.pdf (97 kb)

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Ich habs Dir gesagt. Deine Rechnung geht nicht auf, weil Du die falschen Integrationskonstanten verwendest.

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Hm, deine Aussage bringt mich nicht weiter.

Wie soll denn die Integrationskonstante bei der Integration z.B. von C1 nach C2 aussehen?

Theoretisch müsste die -1 sein. Zumindest ist das der Unterschied zwischen C2 und B2.

Aber woraus wäre diese Konstante ableitbar?

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Aus \(y''(x)=\sin x\) folgt nicht \(y(x)=-\sin x\), sondern \(y(x)=a_0+a_1x-\sin x\). Sollte einem eigentlich schon lange bevor man mit Differentialgleichungen rummacht klar sein.

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Hallo Fakename

So, ich habe es mir alles noch mal angesehen und die Kurven auch gezeichnet. Dadurch wurde es klar.

Das Problem lag in der Tat in den Integrationskonstanten, insbesondere deshalb, weil es eine Integration eines Polynoms war, das selber schon durch eine Integration entstanden war. Dadurch schaukelte sich eben eine nicht per Wert gesetzte Konstante als Fehler auf.

Ich habe mir den Wert der Konstanten durch die Zeichnung der Funktionen klar gemacht. Die Ursprungsfunktion sinx ging im Koordinatenursprung durch Null.

Die erste Integration ergab dann -cosx, diese Funktion ging im Koordinatenursprung durch -1. Daher die Integrationskonstante C1 auf -1 gesetzt.

Die zweite Integration ergab -sinx, diese Funktion ging im Koordinatenursprung also auch durch Null, daher diese Integrationskonstante C2 auf Null gesetzt.

Soweit ist der Fall also nun klar und schlüssig.

Abschließende Frage. Hier war die Funktion einfach, deshalb gewählt, und man wusste wie das Integral aussieht. Was passiert aber, wenn ich eine "wilde" Funktion habe, wie schätze ich den Wert der Integrationskonstante da ab?

Auch so, y Wert der Ursprungsfunktion im Koordinatenursprung ansehen und dann sehen wie liegt die integrierte Funktion im Koordinatenursprung, der Unterschied bei y ist der Wert der Konstanten?

Ansonsten dir schon mal Danke.

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Vielleicht solltest Du Dich mal mit den Basics beschaeftigen. Die Integrationskonstanten kommen gar nirgends her, die sind beliebig. Entsprechend hat auch eine Differentialgleichung zweiter Ordnung \(y''=f(x,y,y')\) selbst im gutartigen Fall keine eindeutige Lösung. Die kriegt man erst, wenn man zum Anfangswertproblem erweitert und zwei weitere Vorgaben \(y(\xi)=\eta_0\) und \(y'(\xi)=\eta_1\) macht.

Wenn Du von \(y''=\sin x\) auf \(y=-\sin x\) kommen willst, brauchst Du entsprechend die Anfangswerte \(y(0)=0\) und \(y'(0)=-1\) dazu. Sonst kommt eben nur \(y=a_0+a_1x-\sin x\) mit beliebigen \(a_0,a_1\)raus.

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Hallo Fakename

Nun, die Sache muss man differenzierter sehen.
In den Mechanik Vorlesungen an der Uni, die bei mir übrigens schon über 40 Jahre her sind, wurden Funktionen integriert und standardmäßig eine Integrationskonstante wie C1, C2 usw. dazu gesetzt. Aus dem sin wurde ein -cos und aus dem ein -sin.
Die Integrationskonstanten spielten praktisch keine Rolle. Sie änderten nichts an der Funktion selber. Sie waren nur die Verschiebung auf der Ordinate.
In diesem Bewusstsein war ich, als ich mit der Integration der Taylorpolynome begann.
Dort ist es aber ganz anders.
In das Ergebnis der ersten Integration muss man nicht nur eine Konstante, lapidar mit z.B. C1 einsetzen, sondern man muss sie sogar wertmäßig einsetzen. In meinem Beispiel mit -1.
Tut man es nicht, ändert sich die Funktion selber. Bei der nächsten Integration fehlt dann nämlich das erste Glied des Polynoms, hier -x. Und dieser Fehler schaukelt sich dann auch noch hoch.
Dieser Unterschied war mir am Anfang nicht klar.

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Dir ist es offensichtlich immer noch kein bisschen klar. Schade, aber ich hab Dir bereits alles gesagt, was es dazu zu sagen gibt. Falls Du die Sache weiterverfolgen willst: Es gibt in der Mathematik keine "differenzierten" Sichten, es gibt nur eine einzige richtige Sicht.

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Tja lieber Fakename

Da sind wir zwei allerdings unterschiedlicher Meinung. Ich sprach auch nicht von differenzierten Sichten in der Mathematik.

Ich nehme an, du bist Mathematiker. Mathematiker betreiben die Mathematik puristisch und ob ihrer Selbst Willen. Das ist ja auch legitim.

Ich bin nicht Mathematiker, ich bin Dipl. Ing.(TU) für Energie und Verfahrenstechnik, und für Bionik und Evolutionstheorie. Ingenieure wie ich verwenden die Mathematik nur als Werkzeug, weil es für sie um ganz andere zu lösende Probleme geht.

Bei uns ist der Ablauf genau so, wie ich es dir versuchte zu erklären, mit der Mechanikvorlesung. Du hast es aber wohl nicht verstanden.

Nun ja, wie auch immer.

Du konntest mir bei dem Problem Taylorpolynome helfen, darauf kam es ja an. Dafür noch mal Danke.