Lösungsmenge E Funktion bestimmen e^{-x} - e^x = e^{1/2}-e^{-1/2}

Question

gegeben ist:

e^{-x}  - e^x = e^{1/2}-e^{-1/2}

Wie kann man jetzt das b ermitteln. Die erste Idee LN:

-x-x = 1/2 - -1/2

-2x = 1

x= -1/2

ist das so richtig, oder kann man das auch anders lösen? (Koeffizientenvergleich, falls ja bitte erklären, weil mit diesem Koeffizientenvergleich tue ich mich etwas schwer) :)

Danke sehr!

Answer 1

e^{-x}  - e^x = e^{1/2}-e^{-1/2}

Da bisher hier noch kein einfacherer
Lösungsweg angeführt wurde

ersetzen
e^{1/2}-e^{-1/2} = 1.042

e^{-x}  - e^x = 1.042  | * e^x

e^0 - e^{x^2}  = 1.042 * e^x
1 =  e^{x^2} + 1.042 * e^x  | quadr.Ergänzung
e^{x^2} + 1.042 * e^x + (1.042 / 2)^2 = 1 + (0.521)^2
( e^x + 0.521)^2 =  1.2714
e^x + 0.521= ±√ 1.2714
e^x = ± 1.12758 - 0.521
e^x = 0.60658 | ln
x = -0.5

Comments

Die Antwort gefällt mir!

Danke Georg!

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e^1/2-e^-1/2 = 1.042

ist leider unkorrekt!

$$\sqrt e -\frac 1 {\sqrt e}$$

sollte man besser weiterführen - hinundwieder ergeben sich Auflösungen, die nach Dezimalkastraktion irrationaler Werte nicht mehr erkannt werden können.

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und übrigens - nur der Vollständigkeit halber:

$$e^{-x}  - e^{x} = -2 \sinh (x)$$

Answer 2

Du hast falsch logarithmiert. Du musst dir eine Klammer vor dem ln denken, weil die Seiten als Ganze logarithmiert werden:

ln(e^a-e^b) IST NICHT ln(e^a)-ln e^b

Mit dem Koeffizientenvergleich bist du aber zum richtigen Ergebnis gelangt.

Answer 3

Exponentenvergleich ist hier allerdings mehr Zufall. Ich weiss dann noch nicht, ob es noch eine zweite Lösung gibt.*

e^-x  - e^x = e^1/2-e^-1/2 

Vergleich von blau: x = - 1/2

Vergleich von rot: -x = 1/2 ==> x = -1/2 (stimmt zufällig mit blau überein)

==> x = -1/2 ist eine Lösung. 

* Da die Funktion streng monoton fällt (kannst du selber nachrechnen), ist die gefundene Lösung die einzige. ~plot~ e^{-x} - e^x ~plot~ 

Comments

"Exponentenvergleich ist hier allerdings mehr Zufall."

Immerhin ergibt sie eine der Lösungen.

Oft hilft das schon mal einen kleinen Schritt weiter, um den Grad der Gleichung zu reduzieren.

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>  Immerhin ergibt sie eine der Lösungen.

Meinst du Frau Exponentenvergleich oder die Tochter?  :-)

Answer 4

vielleicht hat der Aufgabensteller eher an so etwas gedacht:

e^-x  - e^x = e^1/2 - e^-1/2    | * (-1/2)

1/2 * (e^x - e^-x)  =  -1/2 * ( e^1/2 - e^-1/2 )

sinh(x)  =   -1/2 * (e^1/2 - e^-1/2)

x  =  arsinh( -1/2 *(e^1/2 - e^-1/2) )  =  -1/2    

( edit:  arsinh  statt  arcsinh )  

Gruß Wolfgang

Comments

Besser arsinh.

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@nn

Danke für den Hinweis, ist wirklich besser. Habe das in der Antwort geändert.

@pleindespoir

Kommentar wegen Löschung des Bezugskommentars ebenfalls gelöscht.

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@Wolfgang: Wolframalpha ist absichtlich sehr tolerant. Es ist ein System, das versucht zu erraten, was der Fragesteller gemeint haben könnte. In der Zeile Input siehst du die gemäss Wolframalpha nächstliegende "mathematische" Interpretation der Anfrage, auf die sich dann die ganzen Rechnungen beziehen. Manchmal kannst du oberhalb der Inputzeile dann noch eine alternative Lesart auswählen.

Gerade bei der Schreibweise von arsinh(x) hilft dir die Inputzeile von Wolframalpha nicht direkt weiter. Auch nicht die Dokumentation dazu: http://reference.wolfram.com/language/ref/ArcSinh.html

Deutsch https://de.wikipedia.org/wiki/Sinus_hyperbolicus_und_Kosinus_hyperbolicus#Umkehrfunktionen

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@Lu

 Bei mir war das einfach nur Flüchtigkeit. Natürlich ist arsinh die angemessene Bezeichnung.

Restkommentar gelöscht.

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@Wolfgang: Was nicht "gemeldet" ist, sehe ich nicht. Hier hatte sonst jemand "gemeldet." Vor allem, da du schon angefangen hast zu recherchieren und fachliche Argumente verlinkt hst, wollte ich den Beitrag von pleindespoir nicht einfach entfernen. Das geschieht, sobald er drei mal gemeldet ist automatisch. Der Kommentar von nn ist ja eigentlich genug. Vielleicht noch die Verlinkungen für den Fragestellenden stehen lassen.

Folgendes bezieht sich nicht auf die vorliegende Fragestellung: Die Seite hiess früher "Gute Mathefragen". Wenn einer eine unvollständige Frage einstellt, muss man ihn ja irgendwie darauf aufmerksam machen. pleindespoir ist da manchmal genauso kryptisch wie der Fragesteller. Du kannst aber den Kommentar melden und/oder einen zielführenderen Kommentar schreiben.