Linearkombination von Vektoren

Question

ich hoffe, ihr könnt mir helfen. Ich komm da einfach nicht weiter. Ich würde mich schon über Ergebnisse freuen, dass ich es wenigstens versuchen kann nach zu vollziehen.Ich wüsste z.b nicht wie man BC mit den vectoren a,b und c  "beschreiben" soll.

Die Vektoren \( \overrightarrow{\mathrm{b}}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}, \overrightarrow{\mathrm{c}}=\overrightarrow{\mathrm{AC}} \text { und } \overrightarrow{\mathrm{d}}=\overrightarrow{\mathrm{AD}} \text { spannen eine dreiseitige Pyramide auf (Fig. } 17.3) \)

Stelle die, "Kantenvektoren" \( \overrightarrow{\mathrm{BC}}, \overrightarrow{\mathrm{BD}}, \overrightarrow{\mathrm{CD}} \) als Linearkombination von \( \overrightarrow{\mathrm{b}}, \overrightarrow{\mathrm{c}}, \overrightarrow{\mathrm{d}} \) dar.

Stelle die "Kantenvektoren" \( \overrightarrow{\mathrm{SD}}, \overrightarrow{\mathrm{AB}}, \overrightarrow{\mathrm{BC}}, \overrightarrow{\mathrm{CD}}, \overrightarrow{\mathrm{DA}} \) der quadratischen Pyramide in Fig. 17.4 als Linearkombination der Vektoren  \( \overrightarrow{\mathrm{a}}=\overrightarrow{\mathrm{SA}}, \overrightarrow{\mathrm{b}}=\overrightarrow{\mathrm{SB}}, \overrightarrow{\mathrm{c}}=\overrightarrow{\mathrm{SC}} \) dar.

Answer 1

Bitte Pfeile ergänzen.

Da geht's darum den Umweg zu beschreiben, wie man zum Beispiel von B nach C kommt.

D.h. via A. Zuerst b rückwärts, dann a vorwärts.

Also:

BC = -b + a.            Das ist rechnerisch dasselbe wie BC = a - b

 

Beim 2. Beispiel kommt noch dazu, dass man Vektoren beliebig im Raum rumschieben darf. Deshalb ist AB = DC = -d + c = c - d

Und z.B. DA = CB = -b + c = c - b

usw.

Comments

Ich hab es soweit verstanden. Nur bei dem 2. Beispiel den Kantenvector SD, wie soll man den beschreiben?

---

SD = SA + AD = SA + CB = a - c + b = a + b - c

---

Nein! So:

SD = SA + AD = SA + BC = a - b +c

---

das geht aber nur weil es eine quadratisches Pyramide ist, richtig?

---

Bitte! Die Grundfläche muss dafür mindestens ein Parallelogramm sein. Das Quadrat ist natürlich ein Spezialfall eines Parallelogramms.

Vom Prinzip her können alle Vektoren im Raum mit 3 beliebigen Vektoren (≠0}, die nicht gerade zur gleichen Ebene parallel sind, beschrieben werden. Man nennt die 3 Vektoren dann linear unabhängig. Gibt aber nicht so einfache Resultate.

Answer 2

Ich mache dir das mal für die erste Aufgabe vor.

BC = AD = d

BD = BA + AD = -b + d = d - b

CD = CA + AD = -c + d = d - c

aber auch:

CD = BA = -b

Vielleicht schaffst Du es für die andere alleine.