Hauptachsentransformation, Drehwinkel und Punkte herausfinden die min. o. max. vom Ursprung entfernt sind.

Question

folgender Term ist mir gegeben:

36x^2+29y^2+24yx-180 = 0

Ich muss eine Hauptachsentransformation durchführen, die Drehmatrix bestimmen  (eine kurze Begründung dazu angeben -> keine Idee was damit gemeint ist), die transformierte Gleichung angeben, die Art der Kurve, den Drehwinkel und die Punkte auf der Kurve mit dem minimalen und maximalen Abstand zum Ursprung angeben.

Puh das ist ganz schön viel, aber ich bin positiv gestimmt und denke ich kann bereits einen großen Teil davon.

Als erstes würde ich die Matrix aufstellen, hier eine 2x2 Matrix mit folgenden Werten:

36	12
12	29

Anschließend die Eigenwerte dieser 2x2 Matrix berechnen:

(λ-36)*(λ-29)-12*12 = 0

=> λ^2-29λ-36λ+1044-144 = 0

=> λ^2-65λ+900 = 0

Mit pq-Formel die Nullstellen bestimmen:

λ1,2 = 65/2+-sqrt((65/2)^2-900)

= 65/2+- 25/2

-> λ1 = 45 ∧ λ2= 20

Nun da ich die Nullstellen bestimmt habe, kann ich λ1 und λ2 in die Matrix einsetzen um die EV zu bestimmen.

EV zu EW λ1 = 45:

-9	12
12	-16

Zeile 1 und 2 kann man kürzen zu:

-3	4
3	-4

Daraus forme ich ein LGS:

x1	x2
-3	4	0
3	-4	0

und ich erzeuge in der ersten Zeile eine Nullzeile. Das bedeutet Rangverlust und gibt mir die Bestätigung, dass der EW λ1 zulässig ist und kein Rechenfehler aufgetreten ist. Anschließend kann ich den ersten EV bestimmen, der lautet:

v1:

-4

-3

Jetzt der zweite EV:

EV zu EW λ2 = 20:

16	12
12	9

Auch hier Zeile 1 & 2 kürzen:

4	3
4	3

Nun in ein LGS überführen:

x1	x2
4	3	0
4	3	0

Auch hier wieder in der ersten Zeile eine NZ erzeugen und damit den zweiten EV bestimmen der lautet:

v2

4

-3

Nun habe ich meine beiden EV und berechne noch den Betrag:

Da bei beiden EV den gleichen Betrag ergeben, berechne ich V1:

|v1| = sqrt(16+9) = 5

Damit hat man folgende Drematrix:

S = 1/5*

-4	4
-3	-3

Damit lautet die transformierte Gleichung:

45x^2+20y^2-180 = 0

Da λ1 > 0 ∧ λ2 > 0 handelt es sich hier um eine Ellipse.

Soweit so gut. Jetzt müsste ich bei der Aufgabe auch noch herausfinden,

I: wie lautet der Drehwinkel

und

II: welche Punkte auf der Kurve haben den maximalen und welche den minimalen Abstand zum Ursprung?

Bei dem Drehwinkel habe ich bereits einen Ansatz mit dieser Tabelle:

Rθ =

cos(θ)	-sind(θ)
sin(θ)	cos(θ)

Soll ich jetzt einfach von der Drehmatrix S die 1/5 mit den jeweiligen Werten in der Matrix multiplizieren und dann je nachdem wo der Eintrag ist, davon den arcsin oder arccos bilden? Dann hätte ich ja 4 Drehwinkel. Macht das Sinn?

Zu dem minimalen und maximalen Abstand der Punkte auf der Kurve vom Urpsrung habe ich leider keinen Ansatz, hoffentlich kann mir da jemand helfen.

Hatte ich den Rest der Rechnung soweit richtig?

Freundliche Grüß!

Comments

Geht es nicht einfach nur um den Winkel, den die Hauptachsen

mit den Koordinatenachsen bilden ?

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Das weiß ich auch nicht genau, deshalb wollte ich hier mal nachfragen

Answer 1

Bis zu den Eigenwerten ist Deine Rechnung richtig. Die Eigenvektoren sind dann aber

$$e_1=\frac{1}{5}\begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix}; \quad e_2=\frac{1}{5}\begin{pmatrix} -3 \\ 4 \end{pmatrix}$$

Daraus folgt dann auch die Drehmatrix \(S\):

$$S=\frac{1}{5}\begin{pmatrix} 4& -3\\ 3& 4 \end{pmatrix}$$

nebst Drehwinkel aus \(\cos{(\theta)}=\frac{4}{5}\) und \(\sin{(\theta)}=\frac{3}{5}\)

$$\Rightarrow \theta=\arctan{ \left(\frac{3}{4}\right)} \approx 36,87°$$

Die Ellipse sieht so aus:

Da keine linearen Terme mit \(x\) und \(y\) vorkommen, liegt die Ellipse mittig zum Ursprung. Also liegen die Punkte mit minimalen und maximalen Abstand zum Ursprung auf den Hauptachsen. Berechnen kann man das, indem man sich zunächst die transformierte Form anschaut, die aus der transformierten Matrix \(A\) folgt

$$A=\begin{pmatrix} 36& 12\\ 12& 29 \end{pmatrix}$$

die hattest Du bereits oben berechnet. Dann ist

$$A'=S^{-1}\cdot A \cdot S= \begin{pmatrix} 45& 0\\ 0& 20 \end{pmatrix}$$

die transformierte Form ist dann

$$45x'^2 + 20y'^2=180 \quad \Rightarrow \frac{x'^2}{4} + \frac{y'^2}{9} = 1$$

D.h. die Halbachse sind \(a=2\) und \(b=3\). Die am weitesten entfernten Punkte liegen also bei

$$\begin{pmatrix} x'\\ y'\end{pmatrix}_{\text{max}}=\begin{pmatrix} 0\\ \pm 3 \end{pmatrix}$$

Daraus folgt

$$\begin{pmatrix} x\\ y\end{pmatrix}_{\text{max}}=S^{-1} \cdot \begin{pmatrix} x'\\ y'\end{pmatrix}_{\text{max}}=\frac{1}{5}\begin{pmatrix} 4& 3\\ -3& 4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0\\ \pm 3 \end{pmatrix}= \frac{\pm 3}{5}\begin{pmatrix} 3\\ 4 \end{pmatrix}$$

die mit minimalen Abstand lassen sich natürlich genauso bestimmen.

Gruß Werner

Comments

Hallo Werner,

vielen Dank für die ausführliche Rechnung, das hat mir sehr geholfen!

Eine Frage hätte ich allerdings noch.

Zur Bestimmung des Drehwinkels schaut man sich scheinbar ja nur die Werte des EV 1 an, die mit dem Betrag von v1 multipliziert wurden und nimmt dann zur Berechnung des Winkels arccos oder arcsin. Aber was ist mit dem EV 2, wird der dafür gar nicht gebraucht?

Zur Berechnung der Winkel, habe ich diese 2x2 Matrix vor mir mit:

cos(phi)	-sin(phi)
sin(phi)	cos(phi)

Wir haben ja nur die linke Seite benutzt, wofür ist dann aber die rechte?

Freundliche Grüße!

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bevor ich auf Deine Frage antworte, muss ich an meiner Antwort noch was korrigieren (war gestern schon spät!). Grundsätzlich dreht \(S\) das Bildsystem \((x',y')\) in das Originalsystem \((x, y)\) - d.h.:

$$\vec{x}=S\cdot \vec{x}'$$

Deshalb muss es auch in der letzten Formel richtig heißen:

$$\begin{pmatrix} x\\ y\end{pmatrix}_{\text{max}}=S \cdot \begin{pmatrix} x'\\ y'\end{pmatrix}_{\text{max}}=\frac{1}{5}\begin{pmatrix} 4& -3\\ 3& 4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0\\ \pm 3 \end{pmatrix}\\ \space= \frac{\pm 3}{5}\begin{pmatrix} -3\\ 4 \end{pmatrix}=\pm\begin{pmatrix}  -1,8\\ 2,4 \end{pmatrix}$$

das folgt auch aus der Zeichnung der Ellipse (s. Antwort). Einer der entfernten Punkte liegt oben links, muss also eine negative X- und eine positive Y-Koordinate haben; wobei der Betrag der Y-Koordinate größer ist.

Auch nicht ganz exakt ist der Ausdruck \(A'= S^{-1} \cdot A \cdot S\) - richtig muss es heißen:

$$A'=S^T \cdot A \cdot S$$

Nur gilt für alle orthogonalen Matrizen \(S\) - und genau die liegt hier vor - dass

$$S^{-1}=S^T$$

ist - so gesehen war es nicht zwingend falsch. Dies auch die Definition der orthogonalen Matrix.

... Antwort folgt

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Du fragtest: "Wir haben ja nur die linke Seite benutzt, wofür ist dann aber die rechte?" (Spalte in der Drehmatrix). Dazu hole ich etwas weiter aus:

Wenn man eine symmetrische Matrix betrachtet (gemeint ist hier das \(A\) von oben), so bekommt man irgendwelche Eigenwerte \(\lambda_{1,2}\) heraus

$$A=\begin{pmatrix} a & b\\ b& c\end{pmatrix} \quad \Rightarrow \lambda_{1,2}=p \pm q$$

Die Matrizen, aus denen die Eigenwerte bestimmt werden, sind dann

$$M_{1,2}=\begin{pmatrix} a - (p \pm q) & b\\ b& c - (p \pm q)\end{pmatrix}$$

Der Einfachheit halber ersetze ich \(a - (p + q) \) durch \(a^*\) und \(c - (p+ q)\) durch \(c^*\). Die Matrizen sind dann

$$M_{1}= \begin{pmatrix} a^* & b\\ b& c^*\end{pmatrix} \quad M_2= \begin{pmatrix} a^*+2q & b\\ b& c^* + 2q\end{pmatrix}$$

und ihre Determinanten sind =0, sonst wären es keine Eigenwerte gewesen ;-)

$$D_1=a^*c^* - b^2 = 0; \quad \\D_2 = a^*c^* + 2q(a^* + c^*) + 4q^2 -b^2=0$$

Zieht man beide Gleichungen von einander ab, so folgt mit der Annahme \(q \ne 0\) daraus

$$a^* + c^* = -2q \quad \Rightarrow a^*+2q = -c^* $$ Die Eigenvektoren sind:

$$e_1=\begin{pmatrix}  -b\\ a^*\end{pmatrix} \quad e_2 =\begin{pmatrix}  -b\\ a^*+2q\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}  -b\\ -c^*\end{pmatrix} $$

Wenn man nun das Skalarprodukt beider Vektoren bildet, so erhält man

$$e_1 \cdot e_2 = b^2 - {a^*}c^*$$

was wiederum identisch zu \((-D_1)\) ist (s.o.) und damit =0 ist!

Damit wäre bewiesen, dass die Eigenvektoren einer symmetrische Matrix für die zwei nicht gleiche Eigenwerte existieren (\(q\ne 0\) s.o.) immer senkrecht auf einander stehen. Für die Drehmatrix \(S\) werden die Vektoren immer auf die Länge 1 normiert. Somit hat \(S\) immer die Form

$$S=\begin{pmatrix}  n & -o\\ o & n\end{pmatrix} \quad \text{mit} \space n^2+o^2=1$$

und lässt sich daher stets in der Form

$$S=\begin{pmatrix}  \cos(\theta) & -\sin(\theta) \\ \sin(\theta) & \cos(\theta) \end{pmatrix}$$

schreiben, woraus folgt, dass \(S\) nur von einer skalaren Größe - nämlich dem Winkel \(\theta\) abhängig ist. Folglich gibt es auch keine Unterscheidung zwischen 1.Spalte und 2.Spalte, sondern aus den gegebenen Größen des Sinus und Cosinus kann immer eindeutig genau ein Winkel berechnet werden.

Gruß Werner

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Okay super, vielen Dank für die ausführliche Erklärung!