Wie zeige ich, dass das uneigentliche Integral existilert? ∫_{0}^{1} t•(1 - t) )^{-1/2} dt

Question

Wie zeige ich, dass das uneigentliche Integral existilert?

$$\int _ { 0 } ^ { 1 } ( t · ( 1 - t ) ) ^ { - 1 / 2 } d t$$

Ich habe es mir der Substitution und partiellen Integration versucht, jedoch rechne ich mich bei der p.I. im Kreis und bei der Sub. Ist die Rechnung so lang, dass das nicht gefragt sein kann... ich dachte mir wenn ich das integral rechne und die Grenzen einsetze (oder den Limes laufen lasse), dass sich das dann erledigt , aber ich habe das Gefühl dass ich einen Satz anwenden muss ... cauchy-mc lauren kann es nicht sein, da die Funktion nicht monoton fallend ist denke ich ... bitte um Hilfe :)

Answer 1

Hallo MomoFard, 

₀∫¹ ( t • (1 - t) )^-1/2 dt   =  ₀∫¹  1 / ( ✓t  · ✓(1 - t) )  dt

Substitution :   z = ✓t    ,   dz/dt = 1 / (2·✓t )  →  dt = 2·✓t  dz  = 2·z dz  ,  t = z²

Einsetzen und kürzen, konstanten Faktor 2 vor das Integral schreiben:

=   2 · ₀∫¹  1 / √(1 - z²)  dz  =  2 · [ arcsin(z) ]₀¹ = 2 · ( π/2 - 0 )   =  π   

[   ∫ 1 / √(1 - x²)  dx  =  arcsin(x) + c  ist ein Standardintegral:

https://de.wikipedia.org/wiki/Tabelle_von_Ableitungs-_und_Stammfunktionen#Trigonometrische_Funktionen_und_Hyperbelfunktionen     [3.1]  ]

Gruß Wolfgang