Untersuche die Reihe auf Konvergenz in Abhängigkeit von x: x^{n² }/(n!)

Question

Untersuche die Reihe auf Konvergenz in Abhängigkeit von x $${ \frac { { x }^{ { n }^{ 2 } } }{ n! }  }$$

Hab ich dies bisher richtig, wenn nein wie gehts richtig und wenn richtig wie mache ich weiter?

$$\sum _{ n=1 }^{ \infty  }{ { \frac { { x }^{ { n }^{ 2 } } }{ n! }  } } $$

Quotientenkriterium führt zu:

$$\frac { { x }^{ (n+1)^{ 2 } } }{ { x }^{ { n }^{ 2 } }\cdot (n+1) } $$

$$\frac { { x }^{ 2n+1 } }{  n+1} $$

wie gehts nun weiter?

Answer 1

deine Herangehensweise ist so in Ordnung. Die Reihe konvergiert sicher, wenn

$$ \lim_{n\to\infty}|\frac { { x }^{ 2n+1 } }{  n+1}|<1 $$

und divergiert sicher , wenn

$$ \lim_{n\to\infty}|\frac { { x }^{ 2n+1 } }{  n+1}|>1 $$

Überlege dir, für welche x welcher Fall eintritt!

Comments

hey ich wiederhole grad die Aufgabe nochmal.. und ich weiß nicht wieso ich damals nicht geantwortet habe, also entschuldige ich mich dafür :)

und hier stand Unsinn... ich komme nachher hierauf zurück 

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also:

|a_n| -> 0 für x ≤ 1 -> |a_n| < 1 -> konvergent

|a_n| -> ∞ für x > 1 -> |a_n| > 1 -> divergent

mfg. 

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besser:

|an| -> 0 für |x| < 1 -> |an| < 1 -> konvergent

|an| -> ∞ für |x| > 1 -> |an| > 1 -> divergent

Die Fälle x=1 und x=-1 gesondert betrachten.