Warum hat diese Gleichung keine Lösung im Reellen?

Question

Warum hat die folgende Gleichung keine Lösung im reellen ?

4x^2 + 16 = 0 I -16

4x^2 = -16 I :(4)

x^2 = -4

x1 = -2 * i

x2 = 2 * i

Ich stand folgender Satz dazu :

"Da die linke Seite stets > 0, hat die Gleichung keine reelle Lösung"

Meine Frage wäre : Wie sehe ich das direkt ohne die Gleichung überhaupt zu lösen. Bei schweren Gleichungen wäre das von Vorteil. Vor allem wie würde diese "Probe" funktionieren ?

Danke

Answer 1

im reellen ist $$ x^2>=0 $$.

Quadrate werden niemals negativ.

Das ist  eine Eigenschaft der reellen Zahlen.

Von daher ist auch

$$ 4x^2>=0 $$

und

$$ 4x^2+16>=16>0 \\$$

Was du mit Probe meinst, ist mir in diesem Zusammenhang schleierhaft.

Wenn eine Gleichung keine Lösung besitzt, so kann man keine Probe durchführen, da man schlicht nichts zum einsetzen hat.

Comments

Danke. Es ging mit Probe nur darum wie man an der Gleichung sehen kann das es keine reelle Lösungen gibt. Ich rechne mich manchmal kaputt nur um dann keine Lösung zu bekommen. Auch blöd oder?

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Ah tut mir leid, das mit der Probe habe ich falsch verstanden.

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Kein Problem, passiert jeden mal. Gibt es sonst keinen speziellen Namen für diese Eigenschaft oder Möglichkeit?

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Mmm ein spezieller Name fällt mir hierfür nicht ein.

Auf der folgenden Seite:

https://de.wikibooks.org/wiki/Mathe_f%C3%BCr_Nicht-Freaks:_Folgerungen_der_Anordnungsaxiome#Quadrate_von_Zahlen_ungleich_0_sind_positiv

wird die Eigenschaft als

"Quadrate von Zahlen ungleich 0 sind positiv"

bezeichnet

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Na, dann immerhin was zu lesen. Danke, Theorie gehört halt leider dazu.

Answer 2

Die Erfahrung wird es mit der Zeit bringen.

4x² + 16 = 0

Ich sehe " auf den ersten Blick " das diese
Gleichung keine Lösing im Reellen hat.

x^2 ist stets ≥ 0

Der linke Teil der Gleichung ist stets ≥ 16.