Mathe-Artikel: Partialbruchzerlegung

Question

Hi Leutz,

standet ihr auch schon vor dem Problem die Integration von $$\frac{1}{x^2}$$ zu bestimmen?

Das sollte kein Problem darstellen und sicher ist der größte Teil in der Lage das direkt als $$F = -\frac1x$$ anzugeben.

Doch mag es auch Integrationen geben, wo die Regel $$F(x) = \frac{-1}{n-1}f_{n-1}(x-a)$$ für Funktionen der Gestalt $$f(x)=\frac{1}{(x-a)^n}$$ nicht mehr so einfach funktioniert.

Hier beispielsweise ist das schon nicht mehr so einfach:

$$\frac{2x+3}{(x-1)(x+1)}$$

Das direkt nach obiger Regel zu integrieren ist nicht möglich, aber das Wissen über die \(\text{Partialbruchzerlegung}\) gibt die Möglichkeit den Ausdruck summandenweise auf bekannte Probleme zurückzuführen.

Wer mehr wissen möchte bzw. wer sich das Wissen bezüglich der Partialbruchzerlegung aneignen möchte, schaue hier rein: Partialbruchzerlegung: Ziel, Verfahren, Beispiele (PDF)

Auch zu finden online bei: https://www.matheretter.de/wiki/partialbruchzerlegung

Viel Spaß beim Lesen ;)
Unknown


P.S.: Wegen des Umfangs ist der Artikel nur als pdf erhältlich. Kommentare (als Vorschläge, Verbesserungen, oder gar Lob :D) sind immer gern gesehen :).

Comments

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@Unknown: Exzellent, meinen Glückwunsch!

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Große Klasse.

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Was ist mit dem Fall mehrfacher komplexer Nullstellen? Gerade dabei wird oft ein falscher Ansatz gewählt.

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Naja, das habe ich ja schon mit "mehrfacher Nullstelle" abgehandelt. Meinst Du nicht? Ob komplex oder nicht, mach im Sinne des Grundgedankens keinen Unterschied ;).

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Oh doch, die reelle Partialbruchzerlegung bei mehrfachen komplexen Nullstellen verdient durchaus eine eigene Behandlung. Wenn z.B. \((x^2+1)^2\) im Nenner steht, kommt in den Ansatz dann $$\frac{ax+b}{x^2+1}+\frac{cx^2+dx+e}{(x^2+1)}\,?$$ Oder $$\frac{ax+b}{x^2+1}+\frac{cx^2+d}{(x^2+1)^2}\,?$$ Oder $$\frac{ax+b}{x^2+1}+\frac{cx+d}{(x^2+1)^2}\,?$$

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Ich sehe Dein Problem immer noch nicht?

Ganz wie bei den mehrfachen Nullstellen erwähnt, wird hier Fall c) als Ansatz gewählt.

Immerhin bringe ich bei reellen Nullstellen auch keine Änderung des Zählers ins Spiel?!

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Wenn du den Ansatz nur für reelle mehrfache Nullstellen angibst, ist man aber darauf angewiesen, im Falle komplexer Nullstellen zu raten, wie er übernommen wird. Abgesehen davon, dass das ohnehin nicht sein sollte: Alle oben genannten Ansätze habe ich schon gesehen. Es ist also offenbar nicht klar, dass dabei im Zähler stets derselbe Ansatz zu verwenden ist. Immerhin weiß man nicht, wie man mit dem \(x\) im Zähler umgehen soll.

Beim Ableiten wird zwar eine Konstante (als Summand) zu Null, für Polynome höheren Grades sieht die Sache aber schon ganz anders aus. Wieso sollte sich die Form des Zählerpolynoms beim Übergang zur höheren Potenz im Nenner also auch bei Polynomen ersten Grades nicht ändern, nur weil das bei Konstanten der Fall ist?

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Ok danke für den Hinweis. Dann füge ich das eventuell noch als Notiz hinzu, wie damit umzugehen ist :).

(Heute allerdings nicht mehr)

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Morgen, morgen und nicht heute... ;)

Wenn in \( f(x) = \frac{q(x)}{p(x)} \in \mathbb{R}[x] \) das Polynom \( p(x) \) irreduzibel ist, dann hat es keine Nullstellen und folglich auch keine (echte) Faktorzerlegung. Eine Linearfaktorzerlegung hat es im Erweiterungskörper ℂ, da allerdings ist es dann nicht irreduzibel.

Vermutlich meinst du mit "irreduzibel", dass es als in irreduzible Faktoren zerfallen vorliegt.

Das solltest du vielleicht auch ändern oder präzisieren.

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Korrektur: \( f(x) = \frac{q(x)}{p(x)} \not\in \mathbb{R}[x] \).

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Wunderbar, lieber Unknown!

Ich werde mir die PDF (die ich mir soeben runter geladen habe) morgen in Ruhe durchlesen, Samstag ist mein "Mathe-Tag" ;)

Toll, dass du offenbar keine Mühen gescheut hast! Echt Wahnsinn :))

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Hi Sophie,

Deine lobenden Worte freuen mich. Hoffe ich kann Dir mit der pdf etwas vermitteln :).

Grüße