Eigenwerte der Summe einer Matrix mit ihrem Inversen

Question

Es sei A∈R^nxn eine invertierbare Matrix mit n > 1, λ > 1 ein Eigenwert von A und μ ein Eigenwert von A^-1 . 

1) Geben Sie zwei Eigenwerte von A+A^-1 an. 

Meine persönliche Frage wäre auch, welcher Zusammenhang gibt es zwischen die Eigenwerte von A und  A^-1 und warum?

Answer 1

Hi,
sei \( \lambda \) ein Eigenwert von \( A \) zum Eigenvektor \( v \) dann folgt
$$  A v = \lambda v $$ und daraus $$ A^{-1}v = \frac{1}{\lambda} v $$
Ähnliches gilt für einen Eigenwert \( \mu \) von \( A^{-1} \) für einen Eigenvektor \( w \)
Also sind \( \lambda + \frac{1}{\lambda} \) und \( \mu + \frac{1}{\mu} \) zwei Eigenwerte von \( A + A^{-1} \)