Zwei Bedingungen bei Wurzelgleichungen - Was ist der Unterschied?

Question

Aufgabe / Beispiel / Erklärung

$$\sqrt { 6x-2 } +5-3x\quad =\quad 0\\ \sqrt { 6x-2 } =\quad 3x-5$$

Frage

Nachdem man eine Wurzelgleichung so umgeformt hat, damit die Wurzel isoliert auf einer Seite steht, muss man gemäss Buch sogenannte "Vorbetrachtungen" anstellen, die Auskunft über die Wurzel geben.
1. Der Radikand darf nicht kleiner Null sein, bzw. ist in R die Wurzel aus einer negativen Zahl nicht möglich.
(Wie zB bei den Complex Numbers..)
2. Der Wurzelausdruck stets grösser als Null sein. 

Bedingungen gem. Buch

(1) Der Radikand darf nicht negativ werden, dh. also: 

6x - 2 ≥ 0 
⇒ 6x ≥ 2
⇒ x ≥ 1/3

(2) Eine Quadratwurzel ist stets grösser oder gleich Null. Dies muss daher auch für die rechte Seite der Wurzelgleichung gelten:

3x - 5 ≥ 0
⇒ 3x ≥ 5
⇒ x ≥ 3/5


Problem
Sind die Bedingungen (1) und (2) nicht die gleichen, sagen die beiden nicht das ein und das selbe aus?

Comments

EDIT: Sollte in deinem Buch kein Druckfehler vorliegen, müsste es doch eigentlich Radikand heissen (?) Habe es oben mal so korrigiert.

Answer 1

Die Bedingungen (1) und (2) sind nicht die gleichen, und sagen folglich auch nicht  ein und das selbe aus. Hier kann die Lösung nur zutreffen, wenn x≥5/3. (Nicht 3/5)

Comments

Die ganzen Vorbetrachtungen sind aber überflüssig, wenn man am Schluss für alle Lösungen die Probe macht.

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Ja ich habe nach längerem überlegen und Abstand vom Blattverstanden,

dass die (1) den Term Links meint und zwar das, was unter der Wurzel steht. 

Die (2) meint den Teil rechts, weil es nicht sein kann dass, eine Wurzel äquivalent zu einer negativen Zahl ist. oder?

Mit diesen Bedingungen kann mall alles Lösungen am Schluss überprüfen und die Lösung, die die Bedingung erfüllt, ist korrekt. Oder?

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Im Prinzip hast du recht. Ich würde aber sagen: (1) fordert, dass der Radikand (steht unter der Wurzel) positiv ist und (2) fordert, dass das Ergebnis des Wurzelziehens (der ganze Wurzelterm bzw. die rechte Seite) positiv ist.

Answer 2

Diskutiere, ob \(\frac{1}{3}=\frac{3}{5}\). Danach solltest Du Deine Frage selber beantworten koennen.

Answer 3

x ≥ 1/3
x ≥ 3/5

Deine beiden " Vorbetrachtungen " stimmen beide.
Die Schnittmenge ist
x ≥ 3/5

Dann rechnen wir einmal
√ (6x -2 ) = 3x -5  | quadrieren
6x - 2 = ( 3x - 5 )^2
x = 1
und
x = 3

Beide Lösungen liegen innerhalb
x ≥ 3/5