Höhe bei einem nicht gleichseitigen Dreieck errechnen

Question

laut Mathebuch gilt die Formel für die Höhe h (a/2)²  + h²   = a²   beim gleichseitigen Dreieck.

Wie rechne ich denn dann bei folgender Aufgabe die Höhe aus:

a = 12 cm

b = 16 cm

γ = 90 Grad

Vielen Dank

Answer 1

In diesem Dreieck ist \(h_a = 16\). Warum willst du das ausrechnen, es steht doch schon da!

Comments

Jetzt mal ernsthaft: Das Dreieck ist rechtwinklig und es steht die ganze Satzgruppe des Pythagoras zur Verfügung.

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Okay, danke, dann werde ich mal rechnen!

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Wir können auch ausnutzen, dass die Höhe \(h=h_c\) das ursprüngliche Dreieck in zwei zu diesem ähnliche Teildreiecke zerlegt. Es muss daher zum Beispiel

$$ \dfrac ha = \dfrac bc $$gelten. Nach h umstellen, für c den Satz des Pythagoras bemühen, einsetzen und ausrechnen ergibt:

$$h = \dfrac{a\cdot b}{c} = \dfrac{a\cdot b}{\sqrt{a^2+b^2}} = \dfrac{12\cdot 16}{20} = \dfrac{48}{5} = 9.6 $$Diese Rechnung ergibt gleichzeitig eine einfache Formel für h.

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Ich habe gerade mal nachgerechnet: Stimmt!

Demnach ist die Höhe h = 4,8 cm bei folgender Aufgabe:

c = 10 cm

a = 6 cm

γ = 90 Grad

Errechnet habe ich b = 8 cm

Laut angefertigter Zeichnung kommt das hin.

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Sehr gut, super!                      

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Danke :-)

Ich habe noch zwei weitere Aufgaben, die ich nachher noch rechne.

Answer 2

Habt ihr schon Trgonometrie gehabt ?

tan ( alpha ) = a / b = 12 / 16 = 0.75
alpha = 36.87 °

sin ( alpha ) = h / b
sin ( 36.87 ) = h / 16
h = 9.6

Comments

Hallo Georg,

nee! Das hatten wir noch nicht! Da wird mir ja gleich ganz schlecht, wenn ich das sehe. Aber na ja, lassen wir die Zeit herankommen!

Trotzdem danke!

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Es ist eine kurze Variante zur Berechnung.
Vor dir liegt ja noch ein weites Feld Mathematik.

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Ja, leider scheint noch ein grooooßes, weeeeiiiites mathematisches Feld vor mir zu liegen.

Answer 3

Dein Dreieck ist ja rechtwinklig, also kannst du erst mal

mit Pythagoras ausrechnen

c² = 16² + 12²

c = 20

Dann z.B. mit Kathetensatz

a² = c*p

144 = 20 * p

p = 7,2

Und wieder Pythagoras im Teildreieck

h² + p² = a²

h² + 51,84 = 144

h = 9,6

Comments

Hallo mathef,

also, den Kathetensatz hatten wir auch noch nicht. Es ist also unwahrscheinlich, dass er morgen in der Arbeit abgefragt wird. Trotzdem danke! Vielleicht muss ich auf Deine Antwort später noch mal zurückgreifen.

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Du kannst auch mit Pythagoras alleine

argumentieren

Erst im großen Dreieck und dann

in den beiden Teildreiecken.

Und bedenke dabei, dass für die

beiden Teile p und q auch gilt

p+q = c .

Answer 4

Die Höhe h_a und h_b sind mit den seiten b und a bereits gegeben und brauchen nicht berechnet zu werden. Für die Fläche des Dreiecks gilt:

A = 1/2 * a * b = 1/2 * √(a² + b²) * h_c

Auflösen nach h_c ergibt dann

h_c = a * b / √(a² + b²)

Will man aber nur h_c ausrechnen um die Fläche zu bestimmen, dann sollte man lieber die zuerst genannte Formel benutzen.