Question

Wieso ist der Grenzwert 0?

lim_x->0(x*sin(1/x))=0

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Tipp: \(0\le\vert x\cdot\sin\frac1x\vert\le\vert x\vert\).

Answer 1

lim_x->0(x*sin(1/x))=0

es gilt immer   -1 ≤ sin(1/x) ≤ 1

also                 - |x| ≤ x * sin(1/x) ≤ |  x |

und weil -|x| und |x| mit x gegen 0 beide

gegen 0 gehen, geht das dazwischen auch gegen 0.

   

Comments

Wieso muss hier der Betrag hin?

- |x| ≤ x * sin(1/x) ≤ |  x |

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Bei x gegen 0 kann das x ja pos. oder neg. sein.

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Am Ende ist es doch -0 oder +0 und das spielt doch keine Rolle oder? Dann könnten doch die Beträge weggelassen werden oder?

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Nur für den Grenzfall x = 0 können die weggelassen werden. Ansonsten nicht.

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In der Zeile

- |x| ≤ x * sin(1/x) ≤ |  x |

dürfen sie nicht fehlen.

Setze mal x=-0,1 ein.

Ohne Beträge wäre das falsch.

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Eine Frage habe ich noch:

Es geht ja um x=0, das heißt, dass man keinen Betrag braucht oder?

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Es geht um x gegen 0. Das kann sowohl von rechts als auch von links sein, also brauchst du den Betrag.

Answer 2

\( \lim \limits_{x \rightarrow 0}\left(x \cdot \sin \left(\frac{1}{x}\right)\right)=0 \\ \quad w=\frac{1}{x} \\ x=\frac{1}{w} \\ =\lim \limits_{w \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{w} \cdot \sin (w)\right)=0 \)