Ableitung einer Potenzreihe x^n. Verstehe leider nicht wie der Autor von x^n zu (n+1)x^n kommt.

Question

Meine Frage bezieht sich auf eine Beispielaufgabe aus einem Buch:

Es wird die Potenzreihe

P(x)=∑_{n=0 bis ∞} (xⁿ) = 1+ x + x² + x³ + ... = 1 / (1-x)

abgeleitet zu:

P'(x)=∑_{n=0 bis ∞} ((n+1)xⁿ) = 1+ 2x +3x² + 4x³ + ... = 1 / (1-x)²

Nun sehe ich ein das die rechte Seite über die Kettenregel abgeleitet stimmt, allerdings verstehe ich leider nicht wie der Author von

xⁿ  zu  (n+1)xⁿ  kommt

Meiner Auffassung nach müsste dort ja ganz einfach

n*x^n-1  rauskommen

nicht nur wegen der Ableitungsregel, auch von den Summenwerten her macht das andere nicht recht Sinn ohne den Anfangswert von n zu versetzen oder ähnliches, was allerdings nicht getan oder erwähnt wird.

Hier noch eine Tabelle mit den Werten für die jeweiligen Funktionen, hoffe dass das mein Problem etwas besser verdeutlicht.

Comments

Vielleicht wollte der Autor am Anfang der Ableitungsregel keine 0 stehen haben. Beide Varianten unterscheiden sich nur für n=0.

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Also sollte das ein Schreibfehler sein? Das wäre schon recht ungünstig. Die Gleiche Potenzreihe hatte er bereits einmal benutzt um etwas anderes zu zeigen und dort auch n=0 als Anfangswert genutzt.

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Nein, ein Fehler ist das nicht. Man kann es so machen, muss es aber nicht. Die beiden Darstellungen beschreiben die gleiche Ableitungsreihe.

Answer 1

Die Summe links ist doch unendlich lang. Er will wohl immer gleich viele Summanden in den Partialsummen von 0 bis k haben, wenn er

lim _(k->unendlich) ∑_{n=0 bis k} ((n+1)xⁿ) ausrechnet. 

Am Endresultat ändert sich nichts. 

Comments

OK vielen Dank, also ist es irrelevant bei welchem n er welchen Wert erhält, solange der Grenzwert gleich bleibt?

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Ja. Ein Summand mehr oder weniger macht da nichts aus bei letztlich unendlich vielen Summanden. ∞ + 1 = ∞  entspricht nicht den normalen Rechenregeln und sollte man daher nicht schreiben. Bei den Reihen ist ja entscheidend, dass die Summanden genügend schnell gegen Null konvergieren, dass der Wert der Reihe (Summe mit unendlich vielen Summanden) überhaupt definiert ist und (eventuell) auch berechnet werden kann.

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OK sehr gut, vielen Dank, mehr muss ich dann gar nicht wissen :)