quadratische Funktionen ( unbekannte Variable bestimmen)

Question

Ich habe keine Ahnung wie ich da vorgehen soll. Der Lehrer ist im Unterricht nicht so tief in die Materie eingedrungen. Er hat nur die grunlegenden Dinge erklärt, deshalb bin ich verwirrt.

Answer 1

Ich berechne die Nullstellen über pq oder abc Formel und faktorisiere dann mit den Nullstellen

f(x) = x^2 - 3.5·x - 2 = (x - 4)·(x + 1/2)

f(x) = 1/2·x^2 + x - 4 = 1/2·(x^2 + 2·x - 8) = 1/2·(x - 2)·(x + 4)

f(x) = 2·x^2 - 2·x + 1/2 = 2·(x^2 - x + 1/4) = 2·(x - 1/2)^2

Comments

f(x) = 2·x^2 + 10·x + a = 0

Damit es 2 Nullstellen gibt muss die Diskreminante der abc-Formel > 0 sein.

b^2 - 4·a·c > 0
10^2 - 4·2·a > 0
a < 12.5

Damit muss a < 12.5 sein.

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Danke schonmal für die Antwort ich versuche es gerade zu verstehen brauch nen bisschen hehe

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f(x) = g(x)
1/3·x^2 - x + a = x + 2
1/3·x^2 - 2·x + a - 2 = 0

Damit es keine gemeinsamen Punkte gibt muss die Diskriminante der abc-Formel negativ sein.

b^2 - 4·a·c < 0
(-2)^2 - 4·(1/3)·(a - 2) < 0
a > 5

Damit muss a > 5 sein.

Zwischenschritte bei den Berechnungen sind von dir zu erbringen. Ich wollte hier nur den grundsätzlichen Ansatz und die Lösung aufzeigen.

Damit es einen Berührpunkt gibt muss die Diskriminante = 0 sein. Also

b^2 - 4·a·c = 0
(-2)^2 - 4·(1/3)·(a - 2) = 0
a = 5

Damit muss a gleich 5 sein.

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Also ich hab gestern eine Stunde und heute morgen eine Stunde geopfert, also ich komme einfach nicht auf die Ergebnisse =( Habe eben mal die Graphen gezeichnet mit deinen Resultaten. Aber die Graphen verliefen alle Falsch? Oder hab ich mich da irgendwie vertan.

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Auf welche Ergebnisse kommst du nicht? Es wäre günstig wenn du eine Rechnung angefügt hättest, dann hätte ich schauen können wo du eventuell etwas verkehrt gerechnet hast.

Graphen zeichnen über Wertetabelle sollte eigentlich keine Probleme bereiten.

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Sorry, ich konnte das Bild nicht drehen. Und ich muss das mit pq Formel oder quadratische Ergänzung machen, weil wir in der Schule keine ABC-Formel gemacht haben.

 

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hab es verstanden a muss kleiner als 12,5 sein


Mache jetzt die anderen ma schauen ob ich die auch lösen kann

Answer 2

Hi Mathematiker, 

für 4a) bis 4c) würde ich mittels p-q-Formel die Nullstellen bestimmen, also

4a)

x² - 3,5x - 2 = 0

x₁ = 1,75 - √(3,0625+2) = 1,75 - 2,25 = -0,5

x₂ = 1,75 + 2,25 = 4

Dann kann man f(x) schreiben als

f(x) = (x + 0,5) * (x - 4)

 

4b)

Gleiches Vorgehen, nur erst mit 2 multiplizieren:

x² + 2x - 8 = 0

x₁ = -1 - √9 = -4

x₂ = -1 + √9 = 2

f(x) = (x + 4) * (x - 2) * 1/2 | Die Multiplikation mit 2 rückgängig gemacht

 

4c)

Gleiches Vorgehen, nur erst durch 2 dividieren:

x² - x + 1/4

x₁ = 1/2 - √(1/4 - 1/4) = 1/2

x₂ = 1/2 + √(1/4 - 1/4) = 1/2

Doppelte Nullstelle an x = 1/2

f(x) = (x - 1/2)² * 2 | Die Division durch 2 rückgängig gemacht

 

Aufgabe 5 später in einem Kommentar :-)

Besten Gruß

Comments

5a)

f(x) = 2x² + 10x + a

hat genau dann zwei Schnittpunkte mit der x-Achse, wenn bei der Anwendung der Ausdruck unter dem Wurzelzeichen > 0 ist.

Durch 2 dividieren

x² + 5x + a/2 = 0

x₁ = -2,5 - √(6,25 - a/2)

x₂ = -2,5 + √(6,25 - a/2)

Es muss also gelten

6,25 - a/2 > 0

6,25 > a/2

a < 12,5 

 

5b)

Ob sich Parabel und Gerade schneiden, stellt man fest, indem man ihre Funktionsgleichungen gleich setzt: 

1/3 * x² - x + a = x + 2

1/3 * x² - 2x - 2 + a = 0

Weiteres Vorgehen hat der Mathecoach in einem Kommentar erklärt :-)

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x₁ = -2,5 - √(6,25 - a/2)

Das hier verstehe ich leider nicht.

 

Also wir haben dieses ABC Formel nicht in der Schule gemacht.

Nur pq Formel,Nullproduktsatz und quadratische Ergänzung. Also muss ich diese Methoden verwenden weil ich mich auch mit denen auskenne.

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@ Mathematiker:

Wir hatten 

x² + 5x + a/2 = 0

Darauf habe ich aber dann die Dir bekannte p-q-Formel angewendet: 

x_1/2 = -2,5 ± √((-2,5)² - a/2) = -2,5 ± √(6,25 - a/2)

Ich schreibe dann nur gerne schon x₁ und x₂ getrennt (und aufsteigend sortiert): 

x₁ = -2,5 - √(6,25 - a/2)

x₂ = -2,5 + √(6,25 - a/2)

Einverstanden?

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Die ABC-Formel brauchst Du auch gar nicht zu kennen - ich benutze sie auch nie. 

Bring einfach die Funktion in die Form, dass vorne x² steht (kein Vielfaches von x², kein Teil davon, kein Minuszeichen davor oder ähnliches), und dann wendest Du die p-q-Formel an: 

Das Ergebnis ist das Gleiche :-)

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Ja ich habe es verstanden :D Es ist nachvollziehbar nur um diese Uhrzeit muss man sich 2x soviel konzentrieren als Mittags :D


Und welche Bedingung muss es geben damit sich eine Parabel und eine Gerade berühren? Also eine sogenannte doppelte Nullstelle entsteht. Diese Aufgabe gehört noch zu 5. b)

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Dann muss der Term unter der Wurzel Null werden, damit es eine Doppelte Lösung gibt.