Wie löst man dieses integral per Substitution?

Question

ich versuche hier die ganze Zeit ein Integral zu lösen aber irgendwie komme ich nicht auf das richtige Ergebnis.

Ich weiß einfach nicht wie ich ab diesem Schritt fortfahren soll.

Comments

Offenbar soll der Integrand eine Summe sein. Also solltest du, bevor du am zweiten Summanden herumsubstituierst, das Integral in zwei Integrale zerlegen. Das dürfte schon einige der Folgefehler beheben. Eine leserlichere Handschrift wäre natürlich auch von Vorteil...

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Tipp: zu f(ax+b)

ist 1/a* F(ax+b)

eine Stammfunktion

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Habs mit der Substitution jetzt raus.

Answer 1

Das sieht ja total scheußlich aus.

Mach mal zunächst zwei Integrale draus.

∫ (0 bis 2pi) 1/2·x + SIN(2·x) dx

= ∫ (0 bis 2pi) 1/2·x dx + ∫ (0 bis 2pi) SIN(2·x) dx

Subst
u = 2x
du = 2 dx
dx = du/2

= [1/4·x^2](0 bis 2pi)  + ∫ (0 bis 4pi) SIN(u) du/2

= [1/4·x^2](0 bis 2pi)  + [- COS(u)/2](0 bis 4pi)

= 1/4·(2pi)^2 - 1/4·0^2 + (- COS(4pi)/2) - (- COS(0)/2)

= 1/4·(2pi)^2 - COS(4pi)/2 + COS(0)/2

= 1/4·(2pi)^2 - 1/2 + 1/2

= 1/4·(2pi)^2

= 1/4·2^2*pi^2

= pi^2

Comments

Ich habs jetzt verstanden, nur war mir das mit den 2 Integralen noch nicht so bekannt, ich hab das schon öfters gesehen aber bis jetzt habe ich immer nur eins benutzt. Die schreibweise meiner Rechnung wurde mir so beigebracht.

Wann genau sollte man denn 2 Integrale benutzen?

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Und hat das einen Grund, dass der U Teil aus der Funktion die neuen Grenzen erhält? Warum hat 1/4 x^2 noch die alten?

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Weil du dort nichts substituierst. Du änderst nur die Grenzen wenn du substituierst.

Daher ist es auch Günstiger 2 Integrale draus zu machen. Eines wo du nicht substituierst und eines wo du substituierst.

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Ah verstehe. Und sollte ich bei der Substitution immer 2 Integrale verwenden? Ist das vortilhaft? Oder gibt es auch Situationen wo ich alles in einem machen kann?

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Wenn du eine Summe integrieren willst. Integriert man jeden einzelnen Summanden.

Aber am günstigsten ist es an dieser Stelle noch überhaupt nicht das Integralzeichen zu benutzen sondern erst eine Stammfunktion zu bilden.

Bei einer linearen inneren Funktion brauchst du auch nicht Substituieren

f(x) = 1/2·x + SIN(2·x)

F(x) = 1/4·x^2 - 1/2·COS(2·x)

Erst jetzt macht man das bestimmte Integral

∫ (0 bis 2pi) f(x) dx = F(2pi) - F(0)
= (1/4·(2pi)^2 - 1/2·COS(2·(2pi))) - (1/4·0^2 - 1/2·COS(2·0))
= pi^2

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Achso :) Ja deswegen hab ich mich mit der Aufgabe ein wenig schwer getan, hab mal meine anderen Aufgaben angeguckt, bis jetzt hatten wir kaum bis keine summen, sondern immer irgendwelche offensichtlichen Funktionen wo man direkt weiß, dass man die Substitution anwenden soll, z.B sin(x)*e^cos(x). Bei der brauchte ich nur ein integral.

In der Aufgabe stand aber, dass ich eine der beiden Integrationsmethoden verwenden soll. Deswegen kann ich das auch nur so machen.

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Du hättest natürlich auch im ersten teil das x durch u/2 substituieren können. Dann darfst du die Grenzen beibehalten.

Wichtig ist aber alle x um Integral irgendwie zu substituieren.

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Ja verstehe. Ich hab noch eine kurze Frage: was genau passiert mit dem du/2? Also nachdem man es eingesetzt hat, in der nächsten Zeile verschwindet das nämlich. Ist das so weil es wie dx ist und deswegen einfach wegfallen darf?

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Die 2 von du/2 zieht man unter das Sinus.

Dann bildest du die Stammfunktion von SIN(u)/2 und das ist -COS(x)/2

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Bist du dir da sicher? Wenn ich das nachrechne, dann erhalte ich 9,37. Oder hab ich mich verrechnet? Das erste Ergebnis war nämlich richtig.

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Das Ergebnis insgesamt sollte pi^2 = 9.870 sein.

Ich kann das so nicht nachvollziehen was du gerechnet hast. Meine Rechnung steht oben.

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Achso, hab mich verrechnet, ist ja egal ob man 1-1 oder 0,5-0,5 rechnet. Habs jetzt verstanden. Vielen Dank :)

Answer 2

für die Stammfunktion benötigt man keine Substitution:

₀∫^2π  ( 1/2 x + sin(2x) )  dx   =  [ x²/4 - COS(2·x)/2 ]₀^2π  =  4π²/4 - cos(π)/2 - ( 0 - 1/2) 

                                             =  π² - 1/2 - (-1/2)   = π²

Gruß Wolfgang

Comments

für die Stammfunktion benötigt man keine Substitution:

und für das Integral benötigt man keine Stammfunktion

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Ich soll eine geeignete Integrationsmethode verwenden. In den Lösungen wurde auch die Substitution benutzt. Habs aber jetzt verstanden.

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Aber es geht wirklich ohne Integral:

die Flächenanteile von sin(2x) heben sich über [0 , 2π] auf und der Rest ist die Flächenmaßzahl eines Dreiecks.

Answer 3

Die Aufgabe kann auf mehrere Arten
gelöst werden.
Hier durch Substituion
Dein Hauptfehler liegt darin das du
alle " x " ersetzen mußt.

Ich bilde zunächst auch immer nur die Stammfunktion
ehe ich das Integral über die Intervallgrenzen
berechne.

Bei Bedarf nachfragen.