Beweis einer Ungleichung durch Körperaxiome

Question

Hallo

Für a,b in einem Körper K mit b≠0 definieren wir: a/b := ab^-1

Seien nun x,y,z ∈ℝ mit xyz > 0. Beweisen Sie

$$\frac{x}{yz} + \frac{y}{xz} + \frac{z}{xy} \geq \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} $$ für xyz > 0

Ich habe probiert mit Umformungen von xyz > 0 auf die gewünschte Form zu kommen, ohne Erfolg. Löst man das Problem mit Fallunterscheidung oder durch Umformung mit den Körperaxiomen? Ich hab es nicht geschafft.

Comments

So vielleicht
\((x-y)^2+(x-z)^2+(y-z)^2\ge0\\2(x^2+y^2+z^2)-2(xy+xz+yz)\ge0\\x^2+y^2+z^2\ge xy+xz+yz.\)
Dividiere nun durch \(xyz\).

Answer 1

Die Antwort steht ja im Kommentar, allerdings wird dort benutzt:

a² ≥ 0  für alle a ∈ ℝ.

Das kannst du aber leicht aus den Körper- bzw- Anordnungsaxiomen herleiten,

etwa so:

 Sei           a ≥ 0 . Da  multipliziere die Ungl. auf beiden Seiten mit a.

und du hast   a²   ≥ 0  .

 Ist anderenfalls    a   < 0  , dann wird ja beim Multiplizieren mit a das Zeichen gedreht

und du hast auch in diesem Fall     a²   >  0