Konvergenzradius einer unendlich Reihe mit Potenz(2*n+1)

Question

Wie berechnet man hier den Konvergenzradius? Rein gefühlsmäßig ist ja diese Summe nicht anderes als Summe von x^n mit Konvergenzradius 1. Oder täusche ich mich da?

Lg

Comments

das geht so wie hier: https://www.mathelounge.de/474789/konvergenzradius-bestimmen-%E2%88%91_-k-1-%E2%88%9E-z-2-2k-k-3-4-k

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Ist ja sehr schoen, wenn Du schon eine Idee hast, was wohl rauskommt. Auch wenn Deine Begruendung arg schwach ist. Diese Reihe soll also praktisch das Gleiche sein wie die geometrische Reihe? Musst Du mal Deine Brille aufsetzen. Oder die ersten zehn Glieder mal explizit hinschreiben.

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Danke euch! Dann substituiere ich einfach 2*n+1=k --> Dann erhalte ich  ∑(1/k)*x^k. Somit sollte der Konvergenzradius 1 sein. Stimmt das so?

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Nein. Und das siehst Du auch selber, wenn Du die Summen ausschreibst und vergleichst. Papier beisst nicht.

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Danke euch! Dann substituiere ich einfach 2*n+1=k --> Dann erhalte ich  ∑(1/k)*x^k. Somit sollte der Konvergenzradius 1 sein. Stimmt das so? 

DAS IST RICHTIG!!!

Answer 1

Klammere ein x aus und substituiere z=x² .

Dann hast du die Reihe

Σ zⁿ / ( 2n+1) und hier bekommst du z.B. mit dem

Quotientenkriterium den Konvergenzradius 1.

Und x² < 1 hat zur Folge |x| < 1 , also auch die

ursprüngliche Reihe hat Konv.rad. = 1.

Comments

Wie meinst du das mit ausklammern, wenn ich das tu bekomme ich ∑x^{2n + 1}/(2n + 1) = ∑x*x^{2n}/(2n + 1) = ∑x*(x^2)^n/(2n + 1) = ∑x*z^n/(2n + 1)

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...........∑x*zⁿ/(2n + 1) = x*∑zⁿ/(2n + 1)

Und das x vor der Summe hängt nicht von n ab, hat also keinen

Einfluss auf den Konvergenzradius.

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Eine Potenzreihe und ihre Ableitung haben den gleichen Konvergenzradius.