Vollständige Induktion - Polynomdivisiohn oder "Satz" ausmultiplizieren

Question

Unklarheit
Ich wusste nicht wie ich den Satz den es zu zeigen gilt im Induktionsschritt zeige. 

Beim ersten versuch hatte ich eine Polynomdivision durchgeführt und dann hatte ich Linearfaktoren (n+1)(n+2)(n+3) aber ohne den Faktor 1/6. 

Zweiter Versuch
Ich habe einfach vereinfacht und ausmultipliziert, und dann den zu zeigenden "Satz" auch ausmultipliziert und siehe da, es ist tatsächlich gleich. 

Frage
Wie löst man aber solche komplexere Aufgaben mit zb Linearfaktoren eigentlich?

Mein Rechenweg (2. Versuch)

Answer 1

Suche Gleiche Faktoren und teile durch diese auf beiden Seiten. Achtung. Stell sicher das du nicht durch 0 teilst.

Zu zeigen:

Σ (k = 1 bis n) (k^2) = 1/6·n·(n + 1)·(2n + 1)

Induktionsanfang: Wir zeigen, dass es für n = 1 gilt.

Σ (k = 1 bis n) (k^2) = 1/6·n·(n + 1)·(2·n + 1)

Σ (k = 1 bis 1) (k^2) = 1/6·1·(1 + 1)·(2·1 + 1)

1^2 = 1/6·2·3

1 = 1

Stimmt !

Induktionsschritt: Wir zeigen, dass es für n + 1 gilt, unter der Annahme, dass es für n gilt.

Σ (k = 1 bis n + 1) (k^2) = 1/6·(n + 1)·((n + 1) + 1)·(2·(n + 1) + 1)

Σ (k = 1 bis n) (k^2) + (n + 1)^2 = 1/6·(n + 1)·(n + 2)·(2·n + 3)

1/6·n·(n + 1)·(2·n + 1) + (n + 1)^2 = 1/6·(n + 1)·(n + 2)·(2·n + 3)

1/6·n·(2·n + 1) + (n + 1) = 1/6·(n + 2)·(2·n + 3)

1/3·n^2 + 1/6·n + n + 1 = 1/3·n^2 + 7/6·n + 1

1/3·n^2 + 7/6·n + 1 = 1/3·n^2 + 7/6·n + 1

Stimmt !

Answer 2

Hallo Limonade,

wenn man zeigen will, dass ein Term mit einem anderen übereinstimmt, der als Produkt von Linearfaktoren dasteht, ist es i.A. rechnerisch einfacher, Letzteren zuerst als Summe darzustellen. Eine Linearfaktorzerlegung des Ersteren ist meist deutlich umständlicher.

Gruß Wolfgang

Answer 3

bei solchen Aufgaben gilt generell:

niemals alles ausmultiplizieren, weil du dann zum Schluss alles zusammenflicken musst, sondern stets versuchen Terme auszuklammern.

Das geht hier auch direkt nach anwenden der Induktionsvoraussetzung, wenn du (n+1)^2 so da stehenlässt.