Die zwei Punkte \(C\) und \(D\) sind irrelevant, da die Funktion \(f(x)\) selbst bereits gegeben ist.
$$f(x)=x^2-2x+2$$
Jede Gerade, die durch den Punkt \(B=(1|0)\) geht, hat die Form
$$y(x) = m(x-1) + 0$$
Wobei das \(m\) die - z.Zt. noch unbekannte - Steigung der Geraden ist. Die bzw. den Schnittpunkt findet man, indem man beide Funktionen gleich setzt:
$$m(x-1) = x^2-2x+2$$
nach dem Umstellen
$$x^2-x(2+m)+(2+m)=0$$
erhält man eine quadratische Gleichung mit den Lösungen (nach pq-Formel):
$$x_{1,2} = \frac12(2+m) +\pm \sqrt{ \frac14(2+m)^2 -2-m }$$
Soll die Gerade \(y(x)\) eine Tangente an der Parabel sein, so darf es nur eine Lösung obiger Gleichung geben. Dies ist genau dann der Fall, wenn der Ausdruck unter der Wurzel - die sogenannte Determinante - zu 0 wird. Also ist die Bedingung für die Tangente:
$$ \frac14(2+m)^2 -2-m= 0$$
$$\frac14 m^2-1=0 \quad \Rightarrow \space m_{1,2}=\pm2$$
D.h. es gibt zwei Tangenten, die jeweils die Steigung \(2\) und \(-2\) haben. Folgende Skizze zeigt den Zusammenhang:
Die Berührpunkte (\(T_1\) und \(T_2\) alias \(A\)) erhält man, indem man das \(m\) in die Gleichung für \(x_{1,2}\) einsetzt und den zugehörigen Funktionswert berechnet:
$$T_1 = (0|f(0)) = (0|2) \quad T_2= (2|f(2)) = (2|2)$$
Gruß Werner
