Für welchen Wert u wird der Flächeninhalt des Dreiecks QPR extremal?

Question

Ich bräuchte Hilfe bei dieser Aufgabe:
P (u/v) mit u>0 sei ein Punkt auf der Kurve Kg. Die Parallele zur x-Achse durch p schneidet die y-Achse in Q. Die Tangente in P an Kg schneidet die y-Achse in R. Für welchen Wert u wird der Flächeninhalt des Dreiecks QPR extremal? Bestimmen Sie die Art des Extremums und seinen Wert.


Die Funktionen sind:
f\left( x \right) ={ e }^{ x-1 }

g\left( x \right) ={ e }^{ 1-x }

Answer 1

g(x) = e^{1 - x}

Die Tangente an der Stelle u hat die Funktion

t(x) = g'(u) * (x - u) + g(u) = -e^{1 - u}·x + (u·e^{1 - u} + e^{1 - u})

Das Doppelte der Fläche des Dreiecks ist also
2A = ((u·e^{1 - u} + e^{1 - u}) - e^{1 - u}) * u = u^2·e^{1 - u}

2A' = 2·u·e^{1 - u} - u^2·e^{1 - u} = u·e^{1 - u}·(2 - u) = 0

Das wird 0 wenn u = 2 ist

2A'' > 0 für u = 2 damit ist es ein Maximum

A = u^2·e^{1 - u} / 2 = 2^2·e^{1 - 2} / 2 = 2/e

Bitte mal alles genau Nachrechnen. Könnte gut sein, dass dort Fehler drin sind. Ich habe das nur mal schnell durchgerechnet.