Bestimmen Sie den Grenzwert von ( (2n-2)(n-4) ) / (4n-n^2)

Question

Bestimmen Sie den Grenzwert von:

\( \lim _{ n\rightarrow \infty  }{ \left( \frac { \left( 2n-2 \right) \left( n-4 \right)  }{ 4n-n² }  \right)  } \)

Answer 1

 

(2n - 2) * (n - 4) / (4n - n²)

(2n² - 8n - 2n + 8) / (4n - n²)

(2n² - 10n + 8) / (4n - n²)

Wenn n -> ∞, kann +8 vernachlässigt werden: 

(2n² - 10n) / (-n² + 4n)

Die höchsten Potenzen sind entscheidend, deshalb geht der gesamte Term gegen

2n² / (-n²)

2 / (-1)

-2

Der Grenzwert des Terms für n -> ∞ ist -2

Besten Gruß

Answer 2

diese Aufgabe geht so:

$$ \lim \frac{(2n-2)(n-4)}{4n - n^2)} = \lim \frac{2n^2 - 10n + 8}{4n - n^2} $$

$$= \lim \frac{2n^2}{n(4-n)} - \frac{10n}{n(4-n)} + \frac{8}{n(4-n)} $$

$$= \lim \frac{2n}{4-n} - \frac{10}{4 - n} + \frac{8}{n(4-n)} $$

$$= \lim \frac{2}{\frac{4}{n}-1} - \frac{10}{4 - n} + \frac{8}{n(4-n)} $$

$$= - 2 - 0 - 0 $$

$$= - 2 .$$

Der Grenzwert ist also -2.

Das geht deswegen, weil der Grenzwert von 1/n für n → ∞ immer 0 ist.

MfG

Mister