Fläche zwischen Parabel und Gerade in 2 gleiche Flächen aufteilen

Question

Gegeben ist die Funktion f(x) = -2x³ + 4x.

Bestimme die Gleichung der Geraden g(x) = mx so, dass die Fläche, die der Graph der Funktion f im ersten Quadranten mit der x-Achse einschließt, durch den Graphen der Funktion g in zwei gleich große Teile geteilt wird.

Also ich dachte zuerst, das ist eine leichte Aufgabe, aber irgendwie komme ich nicht auf die Lösung.

Mein bisheriger Lösungsversuch:

1. Bestimmung der positiven Nullstelle von f:  $${ x }_{ 0 }=\sqrt { 2 }$$. Somit habe ich die Integrationsgrenzen der Parabelfläche.

$$\int _{ 0 }^{ \sqrt { 2 } }{ (-2x³\ +\ 4x)dx }=2$$

Die Gesamtfläche unter der Parabel ist 2 (FE). Dementsprechend ist die Fläche zwischen Parabel und Gerade 1 (FE).

2. Bestimmen der Schnittstelle von f und g:

$$mx=-2{ x }^{ 3 }+4x$$ bzw. $$m=-2{ x }^{ 2 }+4$$

3. Aufstellen des Integrals f - g:

$$\int _{ 0 }^{ { x }_{ s } }{ (-2{ x }^{ 3 }+4x-mx)dx }$$= $$-\frac { { x }^{ 4 } }{ 2 } +\frac { 4-m }{ 2 } { x }^{ 2 }=1$$

Wenn ich nun m ersetze und dann nach x auflöse, erhalte ich:

$$x=\sqrt [ 4 ]{ 2 } =\quad 1,189$$

Das kann aber nicht stimmen, denn die Probe ergibt eine Fläche von 1,83 statt 1,0 (FE).

Wo ist mein Fehler?

Comments

"Wenn ich nun m ersetze und dann nach x auflöse,"

Kannst du denn wirklich nach x "auflösen"? Das scheint eine biquadratische Gleichung mit bis zu 4 Lösungen zu geben. 

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Ich habe für m den Term -2x²+4 eingesetzt und dann erhält man den einfachen Term x⁴=2, also keine biquadratische Gleichung.

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Wo ist mein Fehler?

In der Probe.

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Du: Wo ist mein Fehler?

Du hast dich bei der Probe verrechnet oder falsch eingesetzt. Das Ergebnis der Rechnung ist jedenfalls richtig.

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Danke für die Kontrolle. Ja, ich habe bei der Probe einen Fehler gemacht. Jetzt habe ich nochmal nachgerechnet und es paßt.

Vielleicht sollte man besser die Probe manchmal weglassen. :-)

Answer 1

Wenn du die Probe machst und dich nicht verrechnest wirst du feststellen, dass dein Ergebnis stimmt.

Answer 2

Hallo Robinson,
wäre noch nachzutragen
Bestimme die Gleichung der Geraden g(x) = mx so,
g ( x ) = 1.1716 * x

Comments

Na endlich ist die Frage beantwortet

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Na, wenn es denn unbedingt sein muss, dann so:

$$g(x) = \dfrac { f\left( \sqrt [ 4\, ]{ 2 } \right) }{ \sqrt [ 4\, ]{ 2 } } =-2\cdot\sqrt{2}+4=\dots$$