Gegeben ist die Funktion f(x) = -2x³ + 4x.
Bestimme die Gleichung der Geraden g(x) = mx so, dass die Fläche, die der Graph der Funktion f im ersten Quadranten mit der x-Achse einschließt, durch den Graphen der Funktion g in zwei gleich große Teile geteilt wird.
Also ich dachte zuerst, das ist eine leichte Aufgabe, aber irgendwie komme ich nicht auf die Lösung.
Mein bisheriger Lösungsversuch:
1. Bestimmung der positiven Nullstelle von f: $${ x }_{ 0 }=\sqrt { 2 } $$. Somit habe ich die Integrationsgrenzen der Parabelfläche.
$$\int _{ 0 }^{ \sqrt { 2 } }{ (-2x³\ +\ 4x)dx }=2 $$
Die Gesamtfläche unter der Parabel ist 2 (FE). Dementsprechend ist die Fläche zwischen Parabel und Gerade 1 (FE).
2. Bestimmen der Schnittstelle von f und g:
$$mx=-2{ x }^{ 3 }+4x$$ bzw. $$m=-2{ x }^{ 2 }+4$$
3. Aufstellen des Integrals f - g:
$$\int _{ 0 }^{ { x }_{ s } }{ (-2{ x }^{ 3 }+4x-mx)dx } $$= $$-\frac { { x }^{ 4 } }{ 2 } +\frac { 4-m }{ 2 } { x }^{ 2 }=1$$
Wenn ich nun m ersetze und dann nach x auflöse, erhalte ich:
$$x=\sqrt [ 4 ]{ 2 } =\quad 1,189$$
Das kann aber nicht stimmen, denn die Probe ergibt eine Fläche von 1,83 statt 1,0 (FE).
Wo ist mein Fehler?
