Lin. hom. AWP, Diagonalisierbarkeit von A. y'(A) = A*y(t)

Question

Guten Tag könnte mir jemand folgende Aufgabe erklärend vorrechnen?

(a) Bestimmen Sie die Lösung des AWPs für a, b ≠ 0.

(b) Für welche b ∈ R verändert sich die Anzahl der verallgemeinerten Eigenvektoren?

(c) Für welche Werte von a beobachten Sie exponentielles Wachstum?

EDIT (Kopie aus Kommentar): Korrektur zur Aufgabenstellung a) a,b ≠ 0 oben umgesetzt.

Comments

Hier so ein Beispiel mit Zahlen (inkl. Antwort):

https://www.mathelounge.de/482112/fundamentalsystem-komplexer-reeller-reelle-losung-bestimmen 

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Oh danke und wie löst man b) und c)?

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Zu a) ich habe den Eigenwert a und den Eigenvektor (1,0,0) raus. Was muss ich nun machen?

Zu b) habe ich nur b=0 rausgefunden

Zu c) habe ich leider keine Ahnung..

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Korrektur zur Aufgabenstellung a) a,b ≠ 0

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Ich habe mittlerweile mit der jordankette 2 weitere linear unabhängige vektoren bestimmt:

V₂=(0,1/b,0)^T

V₃=(0,0,1/b)^T

Weiter weiß ich jetzt wirklich nicht mehr. Bräuchte nun Hilfe.

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Könnte mir jemand sagen wie man c löst??

Answer 1

Du hast einen dreifachen Eigenwert \(a\), aber nur einen linear unabhaengigen Eigenvektor \(\pmb{c}\) dazu. Eine Lösung ist dann \(e^{at}\pmb{c}\). Zwei weitere ergeben sich aus dem Ansatz \(\pmb{y}=e^{at}\pmb{p}(t)\). Die Komponenten von \(\pmb{p}(t)\) sind für die zweite Lösung linear und für die dritte quadratisch anzusetzen.

Alternativ kannst Du die Gleichungen auch direkt loesen (ohne Lineare Algebra). Fange dazu mit der letzten an.

Comments

Dritte Variante: \(A\) ist fast ein Jordankasten und hat jedenfalls die guenstige Form \(A=aE+N\) mit nilpotentem \(N\). Da ist dann \(e^{tA}=e^{at}e^{tN}\) ein Fundamentalsystem, das man bequem ausrechnen kann.