DGL anhand einer 2D Matrix

Question

Hey hey, ich bräuchte etwas Hilfe bei einer Aufgabe über das Lineare Homogene DGL mit Matrizen:

Ich solle diese DGL

\( y'(t) = \begin{pmatrix} 4 & -3 \\ 3 & -2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} y_{1} \\ y_{2} \end{pmatrix} \)
mit den Anfangsbedingungen
\(y_1(0) = 1, \quad y_2(0) = 0\)
Berechnen.

Eigentlich ist es sehr einfach. Eigenwerte und die eigenvektoren habe ich schon berechnet, das einzige Problem ist die Art weiße den Hauptvektor zu berechnen da der Eigenwert eine doppelte nullstelle hat => somit zwei der selben eigenvektoren. Aber ich brauche zwei unterschiedliche, weshalb ich den Hauptvektor berechnen soll.
Ich verstehe nicht wirklich die Logik der Umsetzung des Hauptvektors, sowie ich verstanden habe solle man beim gleichungssysteme die erste Reihe "reduzieren", und dann schauen was \(v_{2}\) sein mussdamit \(v_{1} = 1\) ist? (In meinem Fall ist der eigenvektor \(v_{1,2}= \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \) ).

Answer 1

Hallo,

Folgender Weg :

\( y=c_{1} e^{t}\binom{1}{1}+c_{2} e^{t}\left(t\binom{1}{1}+\binom{\frac{1}{3}}{0}\right) \)

Kontrolle Wolfram Alpha

Dann muss ja nur noch die AWP einsetzen und umstellen. Die AWP y_1(0) =1 und y_2(0) =0 sind doch als Vektor gemeint, richtig? Also\( \binom{1}{0} \) ->JA

Folgendes Ergebnis:

\( \begin{array}{l}\mathrm{y} 1(t)=e^{t}(3 t+1) \\ \mathrm{y} 2(t)=3 e^{t} t\end{array} \)

Comments

Heißt es bei dir tatsächlich (A - vE)v₁ = v ?
Warum gilt 3v₁ = 1 + 3v₂ ⇒ v₂ = 0 ?

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Vielen Dank! Dann muss ja nur noch die AWP einsetzen und umstellen.

Die AWP y_1(0) =1 und y_2(0) =0 sind doch als Vektor gemeint, richtig? Also

\( \binom{1}{0} \)