Supremum und Infimum einer partiell geordneten Menge

Question

Hallo liebe Mathelounge Community,

habe heute meine Matheübungsaufgaben gemacht. Teil einer Aufgabe ist es Supremum und Infimum zu bestimmen. 

Sei M = {1,2,3,4}. Wir betrachten die partiell geordneten Mengen (P (M),⊆) und (P_odd(M),⊆), wobei P_odd(M) := {N ⊆ M : |N| ist ungerade} ist.

Nun soll ich für die Mengen A = {{1,2,3},{2,3,4}} und B = {{1},{2}} Supremum und Infimum in den Mengen P(M) und P_odd(M) bestimmen, sofern existent.

Nun zu meinem bisherigen Lösungsansatz,
In(P({1,2,3,4})⊆) hat die Teilmenge A die oberen Schranken {2,3,4},{1,2,3,4}. Dabei ist {2,3,4} die kleinste obere Schranke, also Supremum.
{3,4},{2,4},{2,3},{1,4},{1,3},{1,2},{4},{3},{2},{1}. Dabei ist {1,2,3} das Infimum. Die Teilmenge B hat die obere Schranken {2},{3},{4},{1,2},{1,3},{1,4},{2,3},{2,4},{3,4},{1,2,3},{1,2,4},{1,3,4},{2,3,4} und {1,2,3,4}. {2} ist das Supremum. Untere Schranke ist {1},{1} ist das Infimum. 
In(P_odd({1,2,3,4})⊆) hat die Teilmenge A keine oberen Schranken, also auch kein Supremum, aber untere Schranken {1,3},{3},{1}. {3} ist das Supremum. Untere Schranke ist {1}. {1} ist das Infimum.

Schon mal vielen Dank für eure Antworten :)

Answer 1

> In(P({1,2,3,4})⊆) hat die Teilmenge A die oberen Schranken {2,3,4},{1,2,3,4}. ...
> Dabei ist {1,2,3} das Infimum.

Es ist {1,2,3} ∈ A, aber nicht {1,2,3} ⊆ {2,3,4}. Also ist {2,3,4} keine obere Schranke von A.

Es ist {2,3,4} ∈ A, aber nicht {1,2,3} ⊆ {2,3,4}. Also ist {1,2,3} keine untere Schranke von A.

Infimum von A ist {1,2,3} ∩ {2,3,4} = {2,3} in P(M). In P_odd(M) hat A kein Infimum.

Supremum von B in P(M) ist {1,2}. In P_odd(M) hat B kein Supremum, weil weder {1}⊆{2}, noch {2}⊆{1} gilt und deshalb sowohl {1,2,3} als auch {1,2,4} minimale obere Schranken sind.

Infimum von B in P(M) ist ∅. In P_odd(M) hat B kein Infimum.

Comments

 
Nur leider kann ich ihr nicht ganz folgen, das ist die Aufgabe. 

Also soll man das Supremum so wie Infimum nicht für die Mengen A und B bestimmen?  

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> Nur leider kann ich ihr nicht ganz folgen, das ist die Aufgabe.

Das könnte an der Diskrepanz zwischen der Aufgabe in deiner Frage und der Aufgabe in deinem Komentar liegen. Hast du noch Zeit, diese Diskrepanz zu beseitigen, oder soll ich das für dich machen?

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Ich habe zwar Zeit, aber ich bin mir nicht sicher wo diese Diskrepanz liegt bzw. kann sie nicht erkennen.

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Deine Frage: "für die Mengen P(M) und P_odd(M) Supremum und Infimum bestimmen"

Dein Kommentar: "für folgende Mengen in P(M) und P_odd(M) ... Supremum und Infimum [bestimmen]"

Ich hab's mal angepasst.

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Also ein mal sehe ich P(M) und P_odd(M) als eigene Mengen auf die Menge M. Und im zweiten Fall sehe ich P(M) und P_odd(M) als Mengen auf A und B? Und wäre das Ergebnis dann richtig? 

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Ich habe meine Antwort mal überarbeitet.

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Ich verstehe wie du zu den Mengen gekommen bist, aber warum schneidest du sie dann?

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Weil das Infimum Untermenge aller Mengen aus B sein muss. Also muss das Infimum auch Untermenge der Schittmenge aller Mengen aus B sein muss.

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Also ist {3} das Supremum bei der A?

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> Also ist {3} das Supremum bei der A?

Nein.

Warum ist deiner Meinung nach {3} das Supremum von A?

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{1,2,3} ∩ {2,3,4} = {2} da bei diesem Schnitt noch die {3} enthalten waere, dachte ich, diese waere dann das Supremum.

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Es ist natürlich nicht {1,2,3} ∩ {2,3,4} = {2} (auch wenn's in meiner Antwort mal so stand).

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Okay, ist klar.
Koenntest du mir bitte erklaeren  wie du bei der B das Supremum errechnet hast?

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{1,2} = {1} ∪ {2}

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Warum vereinigen wir die Mengen jetzt? :o

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Weil jedes Element von B Teilmenge des Supremums sein muss.

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Also ist {1, 2, 3} U {2, 3, 4} das Supremum von A? Oder Nein, da {2, 3, 4} keine obere Schranke ist?

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In P(M) ist {1, 2, 3} U {2, 3, 4} = {1, 2, 3, 4} das Supremum von A.

In P_odd(M) ist {1, 2, 3, 4} nicht Supremum von A, weil {1, 2, 3, 4} ∉ P_odd(M) ist.

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Was ist P_odd(A) und P_odd(B) und wie können wir die Obere und Untere Schranken bestimmen ?

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> Was ist P_odd(A) und P_odd(B)

P_odd(A) = {N ⊆ A : |N| ist ungerade}

P_odd(B) = {N ⊆ B : |N| ist ungerade}

> wie können wir die Obere und Untere Schranken bestimmen ?

Alle Elemente hinschreiben und für jedes einzelne prüfen, ob es die Kriterien für Obere und Untere Schranken erfüllen.

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kannst du vielleicht mir die Lösung geben ?

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Sowohl P_odd(A) als auch P_odd(B) haben weder obere noch untere Schranken.

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Nebenbei, ich hoffe es ist dir klar, dass es in obiger Aufgabe nicht darum geht, Schranken von P_odd(A) und P_odd(B) zu bestimmen.

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Also was ist die Beziehung zwischen P_odd(M) und A und B ?

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A ist eine Teilmenge von P_odd(M). B ebenso.

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d.h die obere Schranke von B ist {{1,2},{2}} ?