Ungleichung beweisen mit Induktion

Question

Hi, sorry dass ich heute schon zum zweiten Mal um Hilfe bitte, aber ich habe noch mal ein Probleme mit einer Ungleichung, die ich durch Induktion beweisen soll...

Nur ergibt sich bei mir genau das Gegenteil von dem was ich zeigen soll. Ich sitze jetzt schon mehrere Stunden an meinen Aufgaben und sehe den Weg vor lauter Bäume nicht mehr... Anscheinend habe ich einen großen Fehler in meinem Beweis, aber ich sehe ihn einfach nicht.....

Ich wäre sehr dankbar wenn jemand mal über die Aufgabe drüber sehen könnte. 

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Deine mit "Behauptung" beginnende Zeile ist nicht korrekturfähig.
Deshalb hier der Induktionsschritt :

( (2(n+1))! ) / ( (n+1)! )^2 
=  (2n+2)! / ( (n+1)! )^2
=  (2n)!·(2n+1)·(2n+2) / ( (n!)^2·(n+1)^2 )
≤  4^n / √(3n+1) · ( (2n+1)·(2n+2) )  /  (n+1)^2
=  4^n / √(3n+1) · ( (2n+1)·(2n+2) ) · 4/(2n+2)^2
=  4^{n+1} / √(3n+1) · (2n+1)/(2n+2)
=  4^{n+1} · √ ( (2n+1)^2 / ((3n+1)·(2n+2)^2) )
=  4^{n+1} · √ ( (2n+1)^2) / (12n^3+28n^2+20n+4) )
≤  4^{n+1} · √ ( (2n+1)^2) / (12n^3+28n^2+19n+4) )
=  4^{n+1} · √ ( (2n+1)^2) / ( (2n+1)^2·(3n+4) ) )
=  4^{n+1} · √ ( 1 / (3n+4) )
=  4^{n+1} / √ ( 3(n+1)+1 )

---

Edit : In den Zeilen 8 bis 10 ist die schließende Klammer vor dem Divisionszeichen zu streichen.

Answer 1

Bis zur vorletzten Zeile vom Induktionsschritt würde ich dir folgen,

aber bei der Ind. Beh. nichts umformen.

Nimm den Term, den du dort zuerst hattest, dann musst du zeigen

4ⁿ *(2n+2)(2n+1)  / (  (n+1)² *√(3n+1)  )   ≤   4 ⁿ⁺¹ /  √ (3n+4)

erst mal durch 4ⁿ auf beiden Seiten teilen und mit dem Nenner multiplizieren gibt:

(2n+2)(2n+1)* √ (3n+4)   ≤   4 * (  (n+1)² *√(3n+1)

<=> 2(n+1)(2n+1)* √ (3n+4)   ≤   4 * (  (n+1)² *√(3n+1)

<=> (2n+1)* √ (3n+4)   ≤   2*(n+1) *√(3n+1)   jetzt quadrieren ist

Äquivalenzumformung, da alles positiv

<=> (2n+1)² *  (3n+4)   ≤   4*(n+1)² *(3n+1)

<=> 0  ≤   4*(n+1)² *(3n+1) - (2n+1)² *  (3n+4)

<=>  0 ≤ n

Ist für alle n∈ℕ erfüllt.

 

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Jetzt habe ich es verstanden. :)