Vollständige Induktion mit unbekanntem Summenzeichen

Question

Bei Aufgabe 5 ist ein neues Zeichen, welches ich noch nie im Unterricht hatte. 

Zudem schaffe ich bei der Gleichung nicht einmal den Induktionsanfang.

Answer 1

Hi,

das ist kein Summenzeichen, sondern das Äquivalent für die Multiplikation, ein Produktzeichen.

Für n = 1

9¹ = 3¹⁽¹⁺¹⁾ = 9

Für n = 2

9¹*9² = 9³ = 729     =     3²⁽²⁺¹⁾ = 3⁶ = 729

Passt also. Nun soll man zeigen, dass das auch für n+1 gilt.

∏_(i=1)ⁿ⁺¹ 9ⁱ = ∏_(i=1)ⁿ 9ⁱ * 9ⁿ⁺¹ (soll sein 3^(n+1)*(n+2))

Mit obigem:

3ⁿ⁽ⁿ⁺¹⁾ * 9ⁿ⁺¹ = 3ⁿ⁽ⁿ⁺¹⁾ * 3²⁽ⁿ⁺¹⁾= 3^{n(n+1)  +  2(n+1)} = 3^(n+1)*(n+2)

Dabei wurde im Exponent n+1 ausgeklammert. Wir haben damit auch genau das, was wir wollten ;).

Grüße

Comments

Cool danke. Kein wunder dass ich das nicht hinbekommen hab. Hatte auf der rechten seite der Gleichung auch eine 9..

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Wie geht man vor um die 3 bei dem 3²*ⁿ⁺¹ loszuwerden und dann anschließend von 3ⁿ*⁽ⁿ⁺¹⁾*2(n+1) auf 3⁽ⁿ⁺¹⁾*⁽ⁿ⁺²⁾ schließt?

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Das sind die Potenzgesetze:

a^b*a^c = a^b+c

Bei uns ist a = 3 und b = n(n+1) und c = 2(n+1)

Für b+c = n(n+1) + 2(n+1) kannst Du nun n+1 ausklammern:

(n+1) * (n+2)

Alles klar? ;)

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Ahh also ist das eigentlich eine 3^^ okay danke. Jetzt hab ich es gecheckt.

Answer 2

Das ist ein spezielles Summenzeichen, dass die Teile multipliziert, anstatt sie zu addieren. Dehalb wir diese Art von Summenzeichen auch Produktzeichen genannt.

Comments

Ah danke. Dann weiß ich das jetzt auch:)