Funktion von R auf C

Question

Ich möchte zeigen, dass eine Funktion, die aus R auf C abbildet streng monoton wachsend ist. Ich komme jedoch auf einen Ausdruck bei dem ich mir nicht sicher bin ob man ihn so aufschreiben darf, nämlich:

$$ x_1 < x_2 \Leftrightarrow ix_1 < ix_2 $$

Vielen Dank für Eure Antworten.

Comments

Wie lautet denn die Funktion?

Im allgemeinen gibt es keine Ordnung auf C, daher kannst du auch keine Monotonie untersuchen.

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$$ g(x)= \frac{2+ix}{2-ix} $$

Ich soll die Injektivität beweisen und wollte die Strenge Monotonie zeigen um Injektivität zu implizieren.

Answer 1

das Kriterium funktioniert hier tatsächlich, da du schreiben kannst:

g(x)=f(ix)=f(k)=(2+k)/(2-k)

Dann nach k ableiten.

Eventuell musst du noch bei der Polstelle

k=2 aufpassen.

Ich würde es wie folgt lösen:

Teste ob f(k1)=f(k2) erfüllt sein kann, für

k1 ungleich k2:

(2+k1)/(2-k1)=(2+k2)/(2-k2)

(2+k1)(2-k2)=(2+k2)(2-k1)

Auflösen liefert dann k1=k2, was jedoch ein Widerspruch zur Annahme ist. Daher ist die Funktion injektiv.