Rotationvolumen von Sektglas und Integrale

Question

Aufgabe:

Manche Sektgläser lassen sich durch sogenannte Paraboloide modellieren. Ein Paraboloid ist ein Körper, der durch die Rotation einer Parabel um ihre Symmetrieachse entsteht.

a) Der Kelch eines solchen Sektglases hat eine Höhe von 10 cm. Der Innendurchmesser des oberen
kreisförmigen Randes beträgt 5 cm.
Wählen Sie ein Koordinatensystem so, dass die y-Achse die Symmetrieachse des Kelches darstellt und die x-Achse durch das untere Ende des Kelches verläuft (s. Abbildung), und stellen Sie die Gleichung der Parabel auf, die den Querschnitt des inneren Randes des Kelches beschreibt.

b) Das Füllvolumen des Sektglases aus Teilaufgabe a) kann durch Rotation eines geeigneten Graphen um die x-Achse berechnet werden. Hierzu wird der Teil der Parabel mit der Gleichung y = 8/5 · x², dessen Punkte nicht-negative x-Koordinaten haben, an der Winkelhalbierenden mit der Gleichung y = x gespiegelt. Auf diese Weise erhält man den Graphen der Umkehrfunktion dieser quadratischen Funktion.
Stellen Sie die Gleichung dieser Umkehrfunktion auf.

Quelle: https://www.iqb.hu-berlin.de/bista/UnterrichtSekII/bista/UnterrichtSekII/mathematik/analysis/analysis_volumina_aufgabe_02.pdf

Ich schreibe eine Klausur über Integrale und Rotationsfiguren. Ich habe diese Aufgaben gefunden, jedoch komme ich nicht weiter.

Answer 1

Gegeben
f ( x ) = a * x^2 + b
( 0 | 0 )
( 2.5 | 10 )

f ( 0 ) = a * 0^2 + b = 0
b = 0

f ( x ) = a * x^2
f ( 2.5 ) = a * 2.5^2 = 10
a = 8/5 oder 1.6

f ( x ) = 1.6 * x^2

b.
y = 1.6 * x^2
Umkehrfunktion
x = 1.6 * y^2
y^2 = x / 1.6
y = √ ( x / 1.6 )