μn = {ζ ∈ ℂ | ζ^n = 1} ⊆ ℂ. Das Element ζ soll eine bestimmte Gestalt haben. Wie zeige ich das?

Question

Für ein festes n ∈ ℕ sei μ_n = {ζ ∈ ℂ | ζⁿ = 1} ⊆ ℂ. Zeigen Sie:

(a) Jedes ζ ∈ μ_n hat Betrag |ζ| = 1 und ist daher von der Gestalt ζ = cos(α) + i sin(α) mit α = 2kπ/n für ein k ∈ {0, …, n-1}.

(b) Die Gruppe μ_n ist zyklisch von Ordnung n.

Mir fällt dazu leider nichts ein. Hat jemand eine Idee, wie man diese Aufgabe lösen könnte?

Liebe Grüße, Laua (:

Answer 1

Für ein festes n ∈ ℕ sei μ_n = {ζ ∈ ℂ | ζⁿ = 1} ⊆ ℂ. Zeigen Sie:

(a) Jedes ζ ∈ μ_n hat Betrag |ζ| = 1

Es gilt  | ζ ⁿ | =  | ζ | ⁿ = 1

Also  | ζ | =1 oder  | ζ | = -1 , da aber Beträge nie negativ sind, bleibt nur

| ζ | =1

und ist daher von der Gestalt ζ = cos(α) + i sin(α) mit α = 2kπ/n für ein k ∈ {0, …, n-1}.

Für alle z ∈ℂ gilt: Es gibt ein  α ∈ [ 0 ; 2π [ mit  z = |z| * (cos(α) + i sin(α) )

[ Kann man z.B. am Einheitskreis herleiten.]

Also hier wegen  | ζ | =1     ζ = cos(α) + i sin(α)

Und weil     ζⁿ = cos(n*α) + i sin(n*α)

und   ζⁿ = 1}    muss n*α  ein Vielfaches von 2π  sein,

also               α = 2kπ/n  für ein k ∈ {0, …, n-1}.

(b) Die Gruppe μ_n ist zyklisch von Ordnung n.

Klar, wird erzeugt von    z = cos(2π/n) + i sin(2π/n)

Comments

Wow, das ist wirklich eine hilfreiche Antwort.