Vereinfachung von Bruchtermen: x -x·(1/x -1)

Question

Könntet ihr mir zeigen wie ich folgende zwei Bruchterme vereinfache?

\( x-x\left(\frac{1}{x}-1\right) \)

\( -\frac{2\left(y^{2}-1\right)}{\left(\frac{1}{y}-y\right)^{2}} \)

Besonders verwirren mich die Ausdrücke 1/x bzw. 1/y

Answer 1

Hi,

$$x-x(\frac 1x-1) = x-\frac xx+x = x-1+x = 2x-1$$

Beim zweiten erst den Nenner anschauen. In der Klammer ausklammern von \(\frac 1y\):

$$\left(\frac 1y\left(1-y^2\right)\right)^2 = \frac{1}{y^2}(1-y^2)^2$$

Insgesamt:

$$-\frac{2(y^2-1)}{\frac{1}{y^2}(1-y^2)^2} = \frac{2(1-y^2)y^2}{(1-y^2)^2} = \frac{2y^2}{1-y^2}$$


Wenn Schritte unklar sind, hake nach ;).

Grüße

Comments

Hm, ist wesentlich übersichtlicher so.... y

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Also der 1. Term ist jetzt schon mal klar ;)

Zum 2. Term:

-Ich nehme an dass du den gesamten Term *y² nimmst um den Ausdruck 1/y² zu entfernen?

-Wie genau kürzt du die Binomischen Formeln?

-Wieso ändert sich das Vorzeichen des gesamten Terms?

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Ich hab 1/y innerhalb der Klammer ausgeklammert. Deshalb haben wir beim erste Nennersummanden eine 1. Beim zweiten Nenner müssen wir ein y zusätzlich hinhauen.

Dann habe ich im Zähler noch das Minus in die Klammer gehauen. Deshalb dreht sich das da drin. Nun kann man kürzen (1-y^2)^2 = (1-y^2)(1-y^2).

Das 1/y^2 im Nenner habe ich einfach in den Zähler geholt. Nach dem Motto: MIt dem Kehrbruch multiplizieren ;).


Einverstanden?

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Ok, ich kann nachvollziehen wie du 1/y ausklammerst und wie du die Binomischen Formeln kürzt.

Aber wie ich das gesamte Vorzeichen des Terms ändern kann/muss verstehe ich noch nicht...

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Isolieren wir mal das wichtige:

-(y^2-1).

Das lässt sich mit dem Nenner schlecht kürzen. Lösen wir die Minusklammer aber auf, hilft das uns:

-y^2+1 = 1-y^2 = (1-y^2)


Das ist genau was wir im Nenner haben und können kürzen.


Du konntest nun folgen? ;)

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Alles klar, ich kann dir folgen.

Mir war nicht bewusst dass ich das Minus vor dem Term packen kann um damit sozusagen explizit  die Vorzeichen der Klammer im Zähler zu ändern.

D.h. ich könnte ein Minus vor dem Term in einem anderen Fall auch beliebig anders einsetzen?

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Unter Berücksichtigung der Regeln ist das erlaubt. Also alles innerhalb der Klammer umdrehen, beim Minusklammer auflösen etc. ;).

Answer 2

x -x*( 1/x -1) =

//Klammer auflösen
= x -x/x +x = x +x -x/x =

// x kürzt sich weg im Bruch
=2x  -1;

[ -2(y^2 -1) ] / ( 1/y -y )^2 =

[ -2*(y-1) *(y+1) ] / [ (1-y^2)/y ]^2 =

[2*(1-y)*(y+1)*y^2 / [ (1-y)(1+y) ]^2 =

2*y^2 / [(y+1) (1-y)] =

-2y^2 / (y^2-1);

Comments

Sorry, verstehe deinen Lösungswege leider nicht

Zum ersten Term:

Was meinst du mit "//mit x durchmultiplizieren"? Den gesamten Term oder nur die Klammer?

Zum zweiten Term:

Wieso wird aus (1/y-y)^2 zuerst [(1-y)/y)]^2 und dann (1-y)^2?

Wieso änderst du das Vorzeichen von 2y^2?

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Durchmultiplizieren war unglücklich gewählt. Ich meinte Klammer auflösen. Hab ich ausgebessert.


2. Term: Kann sein, dass Du die Seite nochmal laden musst.